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Theorem ltexprlem6

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of Gleason p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypothesis ltexprlem.1 
|- C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
Assertion ltexprlem6 
|- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> ( A +P. C ) C_ B )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 ltexprlem.1 
 |-  C = { x | E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) }
2 1 ltexprlem5 
 |-  ( ( B e. P. /\ A C. B ) -> C e. P. )
3 df-plp 
 |-  +P. = ( z e. P. , y e. P. |-> { f | E. g e. z E. h e. y f = ( g +Q h ) } )
4 addclnq 
 |-  ( ( g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( g +Q h ) e. Q. )
5 3 4 genpelv 
 |-  ( ( A e. P. /\ C e. P. ) -> ( z e. ( A +P. C ) <-> E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) ) )
6 2 5 sylan2 
 |-  ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( z e. ( A +P. C ) <-> E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) ) )
7 1 abeq2i 
 |-  ( x e. C <-> E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) )
8 elprnq 
 |-  ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( y +Q x ) e. Q. )
9 addnqf 
 |-  +Q : ( Q. X. Q. ) --> Q.
10 9 fdmi 
 |-  dom +Q = ( Q. X. Q. )
11 0nnq 
 |-  -. (/) e. Q.
12 10 11 ndmovrcl 
 |-  ( ( y +Q x ) e. Q. -> ( y e. Q. /\ x e. Q. ) )
13 12 simpld 
 |-  ( ( y +Q x ) e. Q. -> y e. Q. )
14 8 13 syl 
 |-  ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> y e. Q. )
15 prub 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ y e. Q. ) -> ( -. y e. A -> w
16 14 15 sylan2 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A -> w
17 12 simprd 
 |-  ( ( y +Q x ) e. Q. -> x e. Q. )
18 vex 
 |-  w e. _V
19 vex 
 |-  y e. _V
20 ltanq 
 |-  ( u e. Q. -> ( z  ( u +Q z )
21 vex 
 |-  x e. _V
22 addcomnq 
 |-  ( z +Q v ) = ( v +Q z )
23 18 19 20 21 22 caovord2 
 |-  ( x e. Q. -> ( w  ( w +Q x )
24 8 17 23 3syl 
 |-  ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w  ( w +Q x )
25 prcdnq 
 |-  ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( ( w +Q x )  ( w +Q x ) e. B ) )
26 24 25 sylbid 
 |-  ( ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w  ( w +Q x ) e. B ) )
27 26 adantl 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( w  ( w +Q x ) e. B ) )
28 16 27 syld 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ ( B e. P. /\ ( y +Q x ) e. B ) ) -> ( -. y e. A -> ( w +Q x ) e. B ) )
29 28 exp32 
 |-  ( ( A e. P. /\ w e. A ) -> ( B e. P. -> ( ( y +Q x ) e. B -> ( -. y e. A -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
30 29 com34 
 |-  ( ( A e. P. /\ w e. A ) -> ( B e. P. -> ( -. y e. A -> ( ( y +Q x ) e. B -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
31 30 imp4b 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w +Q x ) e. B ) )
32 31 exlimdv 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( E. y ( -. y e. A /\ ( y +Q x ) e. B ) -> ( w +Q x ) e. B ) )
33 7 32 syl5bi 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ w e. A ) /\ B e. P. ) -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) )
34 33 exp31 
 |-  ( A e. P. -> ( w e. A -> ( B e. P. -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
35 34 com23 
 |-  ( A e. P. -> ( B e. P. -> ( w e. A -> ( x e. C -> ( w +Q x ) e. B ) ) ) )
36 35 imp43 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( w e. A /\ x e. C ) ) -> ( w +Q x ) e. B )
37 eleq1 
 |-  ( z = ( w +Q x ) -> ( z e. B <-> ( w +Q x ) e. B ) )
38 37 biimparc 
 |-  ( ( ( w +Q x ) e. B /\ z = ( w +Q x ) ) -> z e. B )
39 36 38 sylan 
 |-  ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( w e. A /\ x e. C ) ) /\ z = ( w +Q x ) ) -> z e. B )
40 39 exp31 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( ( w e. A /\ x e. C ) -> ( z = ( w +Q x ) -> z e. B ) ) )
41 40 rexlimdvv 
 |-  ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) -> z e. B ) )
42 41 adantrr 
 |-  ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( E. w e. A E. x e. C z = ( w +Q x ) -> z e. B ) )
43 6 42 sylbid 
 |-  ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( z e. ( A +P. C ) -> z e. B ) )
44 43 ssrdv 
 |-  ( ( A e. P. /\ ( B e. P. /\ A C. B ) ) -> ( A +P. C ) C_ B )
45 44 anassrs 
 |-  ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ A C. B ) -> ( A +P. C ) C_ B )