Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ltrn1o.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
ltrn1o.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
3 |
|
ltrn1o.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
4 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
5 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> G e. T ) |
6 |
1 2 3
|
ltrn1o |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ G e. T ) -> G : B -1-1-onto-> B ) |
7 |
4 5 6
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> G : B -1-1-onto-> B ) |
8 |
|
f1ococnv1 |
|- ( G : B -1-1-onto-> B -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( `' G o. G ) = ( _I |` B ) ) |
10 |
9
|
coeq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( F o. ( `' G o. G ) ) = ( F o. ( _I |` B ) ) ) |
11 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F e. T ) |
12 |
1 2 3
|
ltrn1o |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B ) |
13 |
4 11 12
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F : B -1-1-onto-> B ) |
14 |
|
f1of |
|- ( F : B -1-1-onto-> B -> F : B --> B ) |
15 |
|
fcoi1 |
|- ( F : B --> B -> ( F o. ( _I |` B ) ) = F ) |
16 |
13 14 15
|
3syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( F o. ( _I |` B ) ) = F ) |
17 |
10 16
|
eqtr2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F = ( F o. ( `' G o. G ) ) ) |
18 |
|
coass |
|- ( ( F o. `' G ) o. G ) = ( F o. ( `' G o. G ) ) |
19 |
17 18
|
eqtr4di |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F = ( ( F o. `' G ) o. G ) ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) |
21 |
20
|
coeq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( ( F o. `' G ) o. G ) = ( ( _I |` B ) o. G ) ) |
22 |
|
f1of |
|- ( G : B -1-1-onto-> B -> G : B --> B ) |
23 |
|
fcoi2 |
|- ( G : B --> B -> ( ( _I |` B ) o. G ) = G ) |
24 |
7 22 23
|
3syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( ( _I |` B ) o. G ) = G ) |
25 |
21 24
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> ( ( F o. `' G ) o. G ) = G ) |
26 |
19 25
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) -> F = G ) |
27 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = G ) -> F = G ) |
28 |
27
|
coeq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = G ) -> ( F o. `' G ) = ( G o. `' G ) ) |
29 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = G ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
30 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = G ) -> G e. T ) |
31 |
29 30 6
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = G ) -> G : B -1-1-onto-> B ) |
32 |
|
f1ococnv2 |
|- ( G : B -1-1-onto-> B -> ( G o. `' G ) = ( _I |` B ) ) |
33 |
31 32
|
syl |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = G ) -> ( G o. `' G ) = ( _I |` B ) ) |
34 |
28 33
|
eqtrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) /\ F = G ) -> ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) ) |
35 |
26 34
|
impbida |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ G e. T ) -> ( ( F o. `' G ) = ( _I |` B ) <-> F = G ) ) |