Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mbfi1fseq.1 |
|- ( ph -> F e. MblFn ) |
2 |
|
mbfi1fseq.2 |
|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) |
3 |
|
mbfi1fseq.3 |
|- J = ( m e. NN , y e. RR |-> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) ) |
4 |
|
simpr |
|- ( ( m e. NN /\ y e. RR ) -> y e. RR ) |
5 |
|
ffvelrn |
|- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
6 |
2 4 5
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
7 |
|
elrege0 |
|- ( ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` y ) ) ) |
8 |
6 7
|
sylib |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` y ) ) ) |
9 |
8
|
simpld |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( F ` y ) e. RR ) |
10 |
|
2nn |
|- 2 e. NN |
11 |
|
nnnn0 |
|- ( m e. NN -> m e. NN0 ) |
12 |
|
nnexpcl |
|- ( ( 2 e. NN /\ m e. NN0 ) -> ( 2 ^ m ) e. NN ) |
13 |
10 11 12
|
sylancr |
|- ( m e. NN -> ( 2 ^ m ) e. NN ) |
14 |
13
|
ad2antrl |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN ) |
15 |
14
|
nnred |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( 2 ^ m ) e. RR ) |
16 |
9 15
|
remulcld |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) e. RR ) |
17 |
|
reflcl |
|- ( ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) e. RR -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. RR ) |
18 |
16 17
|
syl |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. RR ) |
19 |
18 14
|
nndivred |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR ) |
20 |
14
|
nnnn0d |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( 2 ^ m ) e. NN0 ) |
21 |
20
|
nn0ge0d |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> 0 <_ ( 2 ^ m ) ) |
22 |
|
mulge0 |
|- ( ( ( ( F ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` y ) ) /\ ( ( 2 ^ m ) e. RR /\ 0 <_ ( 2 ^ m ) ) ) -> 0 <_ ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) |
23 |
8 15 21 22
|
syl12anc |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> 0 <_ ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) |
24 |
|
flge0nn0 |
|- ( ( ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. NN0 ) |
25 |
16 23 24
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. NN0 ) |
26 |
25
|
nn0ge0d |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> 0 <_ ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) ) |
27 |
14
|
nngt0d |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> 0 < ( 2 ^ m ) ) |
28 |
|
divge0 |
|- ( ( ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) e. RR /\ 0 <_ ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) ) /\ ( ( 2 ^ m ) e. RR /\ 0 < ( 2 ^ m ) ) ) -> 0 <_ ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) ) |
29 |
18 26 15 27 28
|
syl22anc |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> 0 <_ ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) ) |
30 |
|
elrege0 |
|- ( ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. RR /\ 0 <_ ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) ) ) |
31 |
19 29 30
|
sylanbrc |
|- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ y e. RR ) ) -> ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
32 |
31
|
ralrimivva |
|- ( ph -> A. m e. NN A. y e. RR ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) ) |
33 |
3
|
fmpo |
|- ( A. m e. NN A. y e. RR ( ( |_ ` ( ( F ` y ) x. ( 2 ^ m ) ) ) / ( 2 ^ m ) ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> J : ( NN X. RR ) --> ( 0 [,) +oo ) ) |
34 |
32 33
|
sylib |
|- ( ph -> J : ( NN X. RR ) --> ( 0 [,) +oo ) ) |