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Theorem mgmpropd

Description: If two structures have the same (nonempty) base set, and the values of their group (addition) operations are equal for all pairs of elements of the base set, one is a magma iff the other one is. (Contributed by AV, 25-Feb-2020)

Ref Expression
Hypotheses mgmpropd.k 
|- ( ph -> B = ( Base ` K ) )
mgmpropd.l 
|- ( ph -> B = ( Base ` L ) )
mgmpropd.b 
|- ( ph -> B =/= (/) )
mgmpropd.p 
|- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
Assertion mgmpropd 
|- ( ph -> ( K e. Mgm <-> L e. Mgm ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mgmpropd.k 
 |-  ( ph -> B = ( Base ` K ) )
2 mgmpropd.l 
 |-  ( ph -> B = ( Base ` L ) )
3 mgmpropd.b 
 |-  ( ph -> B =/= (/) )
4 mgmpropd.p 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
5 simpl 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ph )
6 1 eqcomd 
 |-  ( ph -> ( Base ` K ) = B )
7 6 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( x e. ( Base ` K ) <-> x e. B ) )
8 7 biimpcd 
 |-  ( x e. ( Base ` K ) -> ( ph -> x e. B ) )
9 8 adantr 
 |-  ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> ( ph -> x e. B ) )
10 9 impcom 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> x e. B )
11 6 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( y e. ( Base ` K ) <-> y e. B ) )
12 11 biimpd 
 |-  ( ph -> ( y e. ( Base ` K ) -> y e. B ) )
13 12 adantld 
 |-  ( ph -> ( ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) -> y e. B ) )
14 13 imp 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> y e. B )
15 5 10 14 4 syl12anc 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( x ( +g ` K ) y ) = ( x ( +g ` L ) y ) )
16 15 eleq1d 
 |-  ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` K ) /\ y e. ( Base ` K ) ) ) -> ( ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
17 16 2ralbidva 
 |-  ( ph -> ( A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
18 1 2 eqtr3d 
 |-  ( ph -> ( Base ` K ) = ( Base ` L ) )
19 18 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) <-> ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
20 18 19 raleqbidv 
 |-  ( ph -> ( A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
21 18 20 raleqbidv 
 |-  ( ph -> ( A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
22 17 21 bitrd 
 |-  ( ph -> ( A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
23 n0 
 |-  ( B =/= (/) <-> E. a a e. B )
24 1 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( a e. B <-> a e. ( Base ` K ) ) )
25 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
26 eqid 
 |-  ( +g ` K ) = ( +g ` K )
27 25 26 ismgmn0 
 |-  ( a e. ( Base ` K ) -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
28 24 27 syl6bi 
 |-  ( ph -> ( a e. B -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) ) )
29 28 exlimdv 
 |-  ( ph -> ( E. a a e. B -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) ) )
30 23 29 syl5bi 
 |-  ( ph -> ( B =/= (/) -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) ) )
31 3 30 mpd 
 |-  ( ph -> ( K e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` K ) A. y e. ( Base ` K ) ( x ( +g ` K ) y ) e. ( Base ` K ) ) )
32 2 eleq2d 
 |-  ( ph -> ( a e. B <-> a e. ( Base ` L ) ) )
33 eqid 
 |-  ( Base ` L ) = ( Base ` L )
34 eqid 
 |-  ( +g ` L ) = ( +g ` L )
35 33 34 ismgmn0 
 |-  ( a e. ( Base ` L ) -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
36 32 35 syl6bi 
 |-  ( ph -> ( a e. B -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) ) )
37 36 exlimdv 
 |-  ( ph -> ( E. a a e. B -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) ) )
38 23 37 syl5bi 
 |-  ( ph -> ( B =/= (/) -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) ) )
39 3 38 mpd 
 |-  ( ph -> ( L e. Mgm <-> A. x e. ( Base ` L ) A. y e. ( Base ` L ) ( x ( +g ` L ) y ) e. ( Base ` L ) ) )
40 22 31 39 3bitr4d 
 |-  ( ph -> ( K e. Mgm <-> L e. Mgm ) )