Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
mnd1.m |
|- M = { <. ( Base ` ndx ) , { I } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. I , I >. , I >. } >. } |
2 |
1
|
sgrp1 |
|- ( I e. V -> M e. Smgrp ) |
3 |
|
df-ov |
|- ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) |
4 |
|
opex |
|- <. I , I >. e. _V |
5 |
|
fvsng |
|- ( ( <. I , I >. e. _V /\ I e. V ) -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I ) |
6 |
4 5
|
mpan |
|- ( I e. V -> ( { <. <. I , I >. , I >. } ` <. I , I >. ) = I ) |
7 |
3 6
|
syl5eq |
|- ( I e. V -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) |
8 |
|
oveq2 |
|- ( y = I -> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) |
9 |
|
id |
|- ( y = I -> y = I ) |
10 |
8 9
|
eqeq12d |
|- ( y = I -> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) |
11 |
|
oveq1 |
|- ( y = I -> ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) ) |
12 |
11 9
|
eqeq12d |
|- ( y = I -> ( ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) |
13 |
10 12
|
anbi12d |
|- ( y = I -> ( ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) ) |
14 |
13
|
ralsng |
|- ( I e. V -> ( A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) <-> ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I /\ ( I { <. <. I , I >. , I >. } I ) = I ) ) ) |
15 |
7 7 14
|
mpbir2and |
|- ( I e. V -> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) |
16 |
|
oveq1 |
|- ( x = I -> ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) ) |
17 |
16
|
eqeq1d |
|- ( x = I -> ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y <-> ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y ) ) |
18 |
17
|
ovanraleqv |
|- ( x = I -> ( A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) ) |
19 |
18
|
rexsng |
|- ( I e. V -> ( E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) <-> A. y e. { I } ( ( I { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } I ) = y ) ) ) |
20 |
15 19
|
mpbird |
|- ( I e. V -> E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) ) |
21 |
|
snex |
|- { I } e. _V |
22 |
1
|
grpbase |
|- ( { I } e. _V -> { I } = ( Base ` M ) ) |
23 |
21 22
|
ax-mp |
|- { I } = ( Base ` M ) |
24 |
|
snex |
|- { <. <. I , I >. , I >. } e. _V |
25 |
1
|
grpplusg |
|- ( { <. <. I , I >. , I >. } e. _V -> { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) ) |
26 |
24 25
|
ax-mp |
|- { <. <. I , I >. , I >. } = ( +g ` M ) |
27 |
23 26
|
ismnddef |
|- ( M e. Mnd <-> ( M e. Smgrp /\ E. x e. { I } A. y e. { I } ( ( x { <. <. I , I >. , I >. } y ) = y /\ ( y { <. <. I , I >. , I >. } x ) = y ) ) ) |
28 |
2 20 27
|
sylanbrc |
|- ( I e. V -> M e. Mnd ) |