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Theorem mptelixpg

Description: Condition for an explicit member of an indexed product. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Jan-2015)

Ref Expression
Assertion mptelixpg
|- ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elex
 |-  ( I e. V -> I e. _V )
2 nfcv
 |-  F/_ y K
3 nfcsb1v
 |-  F/_ x [_ y / x ]_ K
4 csbeq1a
 |-  ( x = y -> K = [_ y / x ]_ K )
5 2 3 4 cbvixp
 |-  X_ x e. I K = X_ y e. I [_ y / x ]_ K
6 5 eleq2i
 |-  ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K )
7 elixp2
 |-  ( ( x e. I |-> J ) e. X_ y e. I [_ y / x ]_ K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
8 3anass
 |-  ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
9 6 7 8 3bitri
 |-  ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) )
10 eqid
 |-  ( x e. I |-> J ) = ( x e. I |-> J )
11 10 fnmpt
 |-  ( A. x e. I J e. K -> ( x e. I |-> J ) Fn I )
12 10 fvmpt2
 |-  ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
13 simpr
 |-  ( ( x e. I /\ J e. K ) -> J e. K )
14 12 13 eqeltrd
 |-  ( ( x e. I /\ J e. K ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
15 14 ralimiaa
 |-  ( A. x e. I J e. K -> A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K )
16 11 15 jca
 |-  ( A. x e. I J e. K -> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
17 dffn2
 |-  ( ( x e. I |-> J ) Fn I <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
18 10 fmpt
 |-  ( A. x e. I J e. _V <-> ( x e. I |-> J ) : I --> _V )
19 10 fvmpt2
 |-  ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = J )
20 19 eleq1d
 |-  ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> J e. K ) )
21 20 biimpd
 |-  ( ( x e. I /\ J e. _V ) -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
22 21 ralimiaa
 |-  ( A. x e. I J e. _V -> A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) )
23 ralim
 |-  ( A. x e. I ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> J e. K ) -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
24 22 23 syl
 |-  ( A. x e. I J e. _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
25 18 24 sylbir
 |-  ( ( x e. I |-> J ) : I --> _V -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
26 17 25 sylbi
 |-  ( ( x e. I |-> J ) Fn I -> ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K -> A. x e. I J e. K ) )
27 26 imp
 |-  ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) -> A. x e. I J e. K )
28 16 27 impbii
 |-  ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) )
29 nfv
 |-  F/ y ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K
30 nffvmpt1
 |-  F/_ x ( ( x e. I |-> J ) ` y )
31 30 3 nfel
 |-  F/ x ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K
32 fveq2
 |-  ( x = y -> ( ( x e. I |-> J ) ` x ) = ( ( x e. I |-> J ) ` y ) )
33 32 4 eleq12d
 |-  ( x = y -> ( ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
34 29 31 33 cbvralw
 |-  ( A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K <-> A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K )
35 34 anbi2i
 |-  ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. x e. I ( ( x e. I |-> J ) ` x ) e. K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
36 28 35 bitri
 |-  ( A. x e. I J e. K <-> ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) )
37 mptexg
 |-  ( I e. _V -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
38 37 biantrurd
 |-  ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) <-> ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) ) )
39 36 38 bitr2id
 |-  ( I e. _V -> ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( ( x e. I |-> J ) Fn I /\ A. y e. I ( ( x e. I |-> J ) ` y ) e. [_ y / x ]_ K ) ) <-> A. x e. I J e. K ) )
40 9 39 syl5bb
 |-  ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )
41 1 40 syl
 |-  ( I e. V -> ( ( x e. I |-> J ) e. X_ x e. I K <-> A. x e. I J e. K ) )