Theorem naddelim

Description: Ordinal less-than is preserved by natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 9-Sep-2024)

	Ref	Expression
Assertion	naddelim	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A +no C ) e. ( B +no C ) ) )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1	|- ( b = A -> ( b +no C ) = ( A +no C ) )
2	1	eleq1d	|- ( b = A -> ( ( b +no C ) e. x <-> ( A +no C ) e. x ) )
3	2	rspcv	|- ( A e. B -> ( A. b e. B ( b +no C ) e. x -> ( A +no C ) e. x ) )
4	3	ad2antlr	|- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) /\ A e. B ) /\ x e. On ) -> ( A. b e. B ( b +no C ) e. x -> ( A +no C ) e. x ) )
5	4	adantld	|- ( ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) /\ A e. B ) /\ x e. On ) -> ( ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) -> ( A +no C ) e. x ) )
6	5	ralrimiva	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) /\ A e. B ) -> A. x e. On ( ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) -> ( A +no C ) e. x ) )
7		ovex	|- ( A +no C ) e. _V
8	7	elintrab	|- ( ( A +no C ) e. |^| { x e. On | ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) } <-> A. x e. On ( ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) -> ( A +no C ) e. x ) )
9	6 8	sylibr	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) /\ A e. B ) -> ( A +no C ) e. |^| { x e. On | ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) } )
10		naddov2	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( B +no C ) = |^| { x e. On | ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) } )
11	10	3adant1	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( B +no C ) = |^| { x e. On | ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) } )
12	11	adantr	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) /\ A e. B ) -> ( B +no C ) = |^| { x e. On | ( A. c e. C ( B +no c ) e. x /\ A. b e. B ( b +no C ) e. x ) } )
13	9 12	eleqtrrd	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) /\ A e. B ) -> ( A +no C ) e. ( B +no C ) )
14	13	ex	|- ( ( A e. On /\ B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( A +no C ) e. ( B +no C ) ) )