Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elnmz.1 |
|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } |
2 |
|
nmzsubg.2 |
|- X = ( Base ` G ) |
3 |
|
nmzsubg.3 |
|- .+ = ( +g ` G ) |
4 |
|
nmznsg.4 |
|- H = ( G |`s N ) |
5 |
|
id |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> S e. ( SubGrp ` G ) ) |
6 |
1 2 3
|
ssnmz |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> S C_ N ) |
7 |
|
subgrcl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
8 |
1 2 3
|
nmzsubg |
|- ( G e. Grp -> N e. ( SubGrp ` G ) ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> N e. ( SubGrp ` G ) ) |
10 |
4
|
subsubg |
|- ( N e. ( SubGrp ` G ) -> ( S e. ( SubGrp ` H ) <-> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ S C_ N ) ) ) |
11 |
9 10
|
syl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> ( S e. ( SubGrp ` H ) <-> ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ S C_ N ) ) ) |
12 |
5 6 11
|
mpbir2and |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> S e. ( SubGrp ` H ) ) |
13 |
1
|
ssrab3 |
|- N C_ X |
14 |
13
|
sseli |
|- ( w e. N -> w e. X ) |
15 |
1
|
nmzbi |
|- ( ( z e. N /\ w e. X ) -> ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) |
16 |
14 15
|
sylan2 |
|- ( ( z e. N /\ w e. N ) -> ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) |
17 |
16
|
rgen2 |
|- A. z e. N A. w e. N ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) |
18 |
4
|
subgbas |
|- ( N e. ( SubGrp ` G ) -> N = ( Base ` H ) ) |
19 |
9 18
|
syl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> N = ( Base ` H ) ) |
20 |
19
|
raleqdv |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> ( A. w e. N ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) <-> A. w e. ( Base ` H ) ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) ) |
21 |
19 20
|
raleqbidv |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> ( A. z e. N A. w e. N ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) <-> A. z e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) ) |
22 |
17 21
|
mpbii |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> A. z e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) |
23 |
|
eqid |
|- ( Base ` H ) = ( Base ` H ) |
24 |
2
|
fvexi |
|- X e. _V |
25 |
24 13
|
ssexi |
|- N e. _V |
26 |
4 3
|
ressplusg |
|- ( N e. _V -> .+ = ( +g ` H ) ) |
27 |
25 26
|
ax-mp |
|- .+ = ( +g ` H ) |
28 |
23 27
|
isnsg |
|- ( S e. ( NrmSGrp ` H ) <-> ( S e. ( SubGrp ` H ) /\ A. z e. ( Base ` H ) A. w e. ( Base ` H ) ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) ) |
29 |
12 22 28
|
sylanbrc |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> S e. ( NrmSGrp ` H ) ) |