Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elnmz.1 |
|- N = { x e. X | A. y e. X ( ( x .+ y ) e. S <-> ( y .+ x ) e. S ) } |
2 |
|
nmzsubg.2 |
|- X = ( Base ` G ) |
3 |
|
nmzsubg.3 |
|- .+ = ( +g ` G ) |
4 |
2
|
subgss |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> S C_ X ) |
5 |
4
|
sselda |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ z e. S ) -> z e. X ) |
6 |
|
simpll |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> S e. ( SubGrp ` G ) ) |
7 |
|
subgrcl |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> G e. Grp ) |
8 |
6 7
|
syl |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> G e. Grp ) |
9 |
6 4
|
syl |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> S C_ X ) |
10 |
|
simplrl |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> z e. S ) |
11 |
9 10
|
sseldd |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> z e. X ) |
12 |
|
eqid |
|- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) |
13 |
|
eqid |
|- ( invg ` G ) = ( invg ` G ) |
14 |
2 3 12 13
|
grplinv |
|- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) ) |
15 |
8 11 14
|
syl2anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) = ( 0g ` G ) ) |
16 |
15
|
oveq1d |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( 0g ` G ) .+ w ) ) |
17 |
13
|
subginvcl |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ z e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S ) |
18 |
6 10 17
|
syl2anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. S ) |
19 |
9 18
|
sseldd |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( invg ` G ) ` z ) e. X ) |
20 |
|
simplrr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> w e. X ) |
21 |
2 3
|
grpass |
|- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( invg ` G ) ` z ) e. X /\ z e. X /\ w e. X ) ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) ) |
22 |
8 19 11 20 21
|
syl13anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ z ) .+ w ) = ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) ) |
23 |
2 3 12
|
grplid |
|- ( ( G e. Grp /\ w e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w ) |
24 |
8 20 23
|
syl2anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .+ w ) = w ) |
25 |
16 22 24
|
3eqtr3d |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) = w ) |
26 |
|
simpr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( z .+ w ) e. S ) |
27 |
3
|
subgcl |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( ( invg ` G ) ` z ) e. S /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) e. S ) |
28 |
6 18 26 27
|
syl3anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( ( ( invg ` G ) ` z ) .+ ( z .+ w ) ) e. S ) |
29 |
25 28
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> w e. S ) |
30 |
3
|
subgcl |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ w e. S /\ z e. S ) -> ( w .+ z ) e. S ) |
31 |
6 29 10 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( z .+ w ) e. S ) -> ( w .+ z ) e. S ) |
32 |
|
simpll |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> S e. ( SubGrp ` G ) ) |
33 |
|
simplrl |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> z e. S ) |
34 |
32 7
|
syl |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> G e. Grp ) |
35 |
|
simplrr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> w e. X ) |
36 |
32 33 5
|
syl2anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> z e. X ) |
37 |
|
eqid |
|- ( -g ` G ) = ( -g ` G ) |
38 |
2 3 37
|
grppncan |
|- ( ( G e. Grp /\ w e. X /\ z e. X ) -> ( ( w .+ z ) ( -g ` G ) z ) = w ) |
39 |
34 35 36 38
|
syl3anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> ( ( w .+ z ) ( -g ` G ) z ) = w ) |
40 |
|
simpr |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> ( w .+ z ) e. S ) |
41 |
37
|
subgsubcl |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( w .+ z ) e. S /\ z e. S ) -> ( ( w .+ z ) ( -g ` G ) z ) e. S ) |
42 |
32 40 33 41
|
syl3anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> ( ( w .+ z ) ( -g ` G ) z ) e. S ) |
43 |
39 42
|
eqeltrrd |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> w e. S ) |
44 |
3
|
subgcl |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ z e. S /\ w e. S ) -> ( z .+ w ) e. S ) |
45 |
32 33 43 44
|
syl3anc |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) /\ ( w .+ z ) e. S ) -> ( z .+ w ) e. S ) |
46 |
31 45
|
impbida |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ ( z e. S /\ w e. X ) ) -> ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) |
47 |
46
|
anassrs |
|- ( ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ z e. S ) /\ w e. X ) -> ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) |
48 |
47
|
ralrimiva |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ z e. S ) -> A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) |
49 |
1
|
elnmz |
|- ( z e. N <-> ( z e. X /\ A. w e. X ( ( z .+ w ) e. S <-> ( w .+ z ) e. S ) ) ) |
50 |
5 48 49
|
sylanbrc |
|- ( ( S e. ( SubGrp ` G ) /\ z e. S ) -> z e. N ) |
51 |
50
|
ex |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> ( z e. S -> z e. N ) ) |
52 |
51
|
ssrdv |
|- ( S e. ( SubGrp ` G ) -> S C_ N ) |