Metamath Proof Explorer


Theorem ssnmz

Description: A subgroup is a subset of its normalizer. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015)

Ref Expression
Hypotheses elnmz.1 N = x X | y X x + ˙ y S y + ˙ x S
nmzsubg.2 X = Base G
nmzsubg.3 + ˙ = + G
Assertion ssnmz S SubGrp G S N

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 elnmz.1 N = x X | y X x + ˙ y S y + ˙ x S
2 nmzsubg.2 X = Base G
3 nmzsubg.3 + ˙ = + G
4 2 subgss S SubGrp G S X
5 4 sselda S SubGrp G z S z X
6 simpll S SubGrp G z S w X z + ˙ w S S SubGrp G
7 subgrcl S SubGrp G G Grp
8 6 7 syl S SubGrp G z S w X z + ˙ w S G Grp
9 6 4 syl S SubGrp G z S w X z + ˙ w S S X
10 simplrl S SubGrp G z S w X z + ˙ w S z S
11 9 10 sseldd S SubGrp G z S w X z + ˙ w S z X
12 eqid 0 G = 0 G
13 eqid inv g G = inv g G
14 2 3 12 13 grplinv G Grp z X inv g G z + ˙ z = 0 G
15 8 11 14 syl2anc S SubGrp G z S w X z + ˙ w S inv g G z + ˙ z = 0 G
16 15 oveq1d S SubGrp G z S w X z + ˙ w S inv g G z + ˙ z + ˙ w = 0 G + ˙ w
17 13 subginvcl S SubGrp G z S inv g G z S
18 6 10 17 syl2anc S SubGrp G z S w X z + ˙ w S inv g G z S
19 9 18 sseldd S SubGrp G z S w X z + ˙ w S inv g G z X
20 simplrr S SubGrp G z S w X z + ˙ w S w X
21 2 3 grpass G Grp inv g G z X z X w X inv g G z + ˙ z + ˙ w = inv g G z + ˙ z + ˙ w
22 8 19 11 20 21 syl13anc S SubGrp G z S w X z + ˙ w S inv g G z + ˙ z + ˙ w = inv g G z + ˙ z + ˙ w
23 2 3 12 grplid G Grp w X 0 G + ˙ w = w
24 8 20 23 syl2anc S SubGrp G z S w X z + ˙ w S 0 G + ˙ w = w
25 16 22 24 3eqtr3d S SubGrp G z S w X z + ˙ w S inv g G z + ˙ z + ˙ w = w
26 simpr S SubGrp G z S w X z + ˙ w S z + ˙ w S
27 3 subgcl S SubGrp G inv g G z S z + ˙ w S inv g G z + ˙ z + ˙ w S
28 6 18 26 27 syl3anc S SubGrp G z S w X z + ˙ w S inv g G z + ˙ z + ˙ w S
29 25 28 eqeltrrd S SubGrp G z S w X z + ˙ w S w S
30 3 subgcl S SubGrp G w S z S w + ˙ z S
31 6 29 10 30 syl3anc S SubGrp G z S w X z + ˙ w S w + ˙ z S
32 simpll S SubGrp G z S w X w + ˙ z S S SubGrp G
33 simplrl S SubGrp G z S w X w + ˙ z S z S
34 32 7 syl S SubGrp G z S w X w + ˙ z S G Grp
35 simplrr S SubGrp G z S w X w + ˙ z S w X
36 32 33 5 syl2anc S SubGrp G z S w X w + ˙ z S z X
37 eqid - G = - G
38 2 3 37 grppncan G Grp w X z X w + ˙ z - G z = w
39 34 35 36 38 syl3anc S SubGrp G z S w X w + ˙ z S w + ˙ z - G z = w
40 simpr S SubGrp G z S w X w + ˙ z S w + ˙ z S
41 37 subgsubcl S SubGrp G w + ˙ z S z S w + ˙ z - G z S
42 32 40 33 41 syl3anc S SubGrp G z S w X w + ˙ z S w + ˙ z - G z S
43 39 42 eqeltrrd S SubGrp G z S w X w + ˙ z S w S
44 3 subgcl S SubGrp G z S w S z + ˙ w S
45 32 33 43 44 syl3anc S SubGrp G z S w X w + ˙ z S z + ˙ w S
46 31 45 impbida S SubGrp G z S w X z + ˙ w S w + ˙ z S
47 46 anassrs S SubGrp G z S w X z + ˙ w S w + ˙ z S
48 47 ralrimiva S SubGrp G z S w X z + ˙ w S w + ˙ z S
49 1 elnmz z N z X w X z + ˙ w S w + ˙ z S
50 5 48 49 sylanbrc S SubGrp G z S z N
51 50 ex S SubGrp G z S z N
52 51 ssrdv S SubGrp G S N