Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
onelon |
|- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On ) |
2 |
1
|
ex |
|- ( B e. On -> ( A e. B -> A e. On ) ) |
3 |
|
eleq2 |
|- ( x = (/) -> ( A e. x <-> A e. (/) ) ) |
4 |
|
oveq2 |
|- ( x = (/) -> ( C .o x ) = ( C .o (/) ) ) |
5 |
4
|
eleq2d |
|- ( x = (/) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) |
6 |
3 5
|
imbi12d |
|- ( x = (/) -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) ) |
7 |
|
eleq2 |
|- ( x = y -> ( A e. x <-> A e. y ) ) |
8 |
|
oveq2 |
|- ( x = y -> ( C .o x ) = ( C .o y ) ) |
9 |
8
|
eleq2d |
|- ( x = y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) |
10 |
7 9
|
imbi12d |
|- ( x = y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) |
11 |
|
eleq2 |
|- ( x = suc y -> ( A e. x <-> A e. suc y ) ) |
12 |
|
oveq2 |
|- ( x = suc y -> ( C .o x ) = ( C .o suc y ) ) |
13 |
12
|
eleq2d |
|- ( x = suc y -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) |
14 |
11 13
|
imbi12d |
|- ( x = suc y -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) |
15 |
|
eleq2 |
|- ( x = B -> ( A e. x <-> A e. B ) ) |
16 |
|
oveq2 |
|- ( x = B -> ( C .o x ) = ( C .o B ) ) |
17 |
16
|
eleq2d |
|- ( x = B -> ( ( C .o A ) e. ( C .o x ) <-> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |
18 |
15 17
|
imbi12d |
|- ( x = B -> ( ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) <-> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
19 |
|
noel |
|- -. A e. (/) |
20 |
19
|
pm2.21i |
|- ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) |
21 |
20
|
a1i |
|- ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. (/) -> ( C .o A ) e. ( C .o (/) ) ) ) |
22 |
|
elsuci |
|- ( A e. suc y -> ( A e. y \/ A = y ) ) |
23 |
|
omcl |
|- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C .o y ) e. On ) |
24 |
|
simpl |
|- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> C e. On ) |
25 |
23 24
|
jca |
|- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) ) |
26 |
|
oaword1 |
|- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( C .o y ) C_ ( ( C .o y ) +o C ) ) |
27 |
26
|
sseld |
|- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
28 |
27
|
imim2d |
|- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) ) |
29 |
28
|
imp |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
30 |
29
|
adantrl |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
31 |
|
oaord1 |
|- ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
32 |
31
|
biimpa |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) |
33 |
|
oveq2 |
|- ( A = y -> ( C .o A ) = ( C .o y ) ) |
34 |
33
|
eleq1d |
|- ( A = y -> ( ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) <-> ( C .o y ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
35 |
32 34
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
36 |
35
|
adantrr |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A = y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
37 |
30 36
|
jaod |
|- ( ( ( ( C .o y ) e. On /\ C e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
38 |
25 37
|
sylan |
|- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( A e. y \/ A = y ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
39 |
22 38
|
syl5 |
|- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
40 |
|
omsuc |
|- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C .o suc y ) = ( ( C .o y ) +o C ) ) |
41 |
40
|
eleq2d |
|- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
42 |
41
|
adantr |
|- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o y ) +o C ) ) ) |
43 |
39 42
|
sylibrd |
|- ( ( ( C e. On /\ y e. On ) /\ ( (/) e. C /\ ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) |
44 |
43
|
exp43 |
|- ( C e. On -> ( y e. On -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) ) |
45 |
44
|
com12 |
|- ( y e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) ) |
46 |
45
|
adantld |
|- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) ) |
47 |
46
|
impd |
|- ( y e. On -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. suc y -> ( C .o A ) e. ( C .o suc y ) ) ) ) ) |
48 |
|
id |
|- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C e. On /\ Lim x ) ) |
49 |
48
|
ad2ant2r |
|- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) -> ( C e. On /\ Lim x ) ) |
50 |
|
limsuc |
|- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) ) |
51 |
50
|
biimpa |
|- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> suc A e. x ) |
52 |
|
oveq2 |
|- ( y = suc A -> ( C .o y ) = ( C .o suc A ) ) |
53 |
52
|
ssiun2s |
|- ( suc A e. x -> ( C .o suc A ) C_ U_ y e. x ( C .o y ) ) |
54 |
51 53
|
syl |
|- ( ( Lim x /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ U_ y e. x ( C .o y ) ) |
55 |
54
|
adantll |
|- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ U_ y e. x ( C .o y ) ) |
56 |
|
vex |
|- x e. _V |
57 |
|
omlim |
|- ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( C .o x ) = U_ y e. x ( C .o y ) ) |
58 |
56 57
|
mpanr1 |
|- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C .o x ) = U_ y e. x ( C .o y ) ) |
59 |
58
|
adantr |
|- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ A e. x ) -> ( C .o x ) = U_ y e. x ( C .o y ) ) |
60 |
55 59
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( C e. On /\ Lim x ) /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ ( C .o x ) ) |
61 |
49 60
|
sylan |
|- ( ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) /\ A e. x ) -> ( C .o suc A ) C_ ( C .o x ) ) |
62 |
|
omcl |
|- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C .o A ) e. On ) |
63 |
|
oaord1 |
|- ( ( ( C .o A ) e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) ) ) |
64 |
62 63
|
sylan |
|- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ C e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) ) ) |
65 |
64
|
anabss1 |
|- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( (/) e. C <-> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) ) ) |
66 |
65
|
biimpa |
|- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( ( C .o A ) +o C ) ) |
67 |
|
omsuc |
|- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C .o suc A ) = ( ( C .o A ) +o C ) ) |
68 |
67
|
adantr |
|- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o suc A ) = ( ( C .o A ) +o C ) ) |
69 |
66 68
|
eleqtrrd |
|- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o suc A ) ) |
70 |
69
|
adantrl |
|- ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) -> ( C .o A ) e. ( C .o suc A ) ) |
71 |
70
|
adantr |
|- ( ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) /\ A e. x ) -> ( C .o A ) e. ( C .o suc A ) ) |
72 |
61 71
|
sseldd |
|- ( ( ( ( C e. On /\ A e. On ) /\ ( Lim x /\ (/) e. C ) ) /\ A e. x ) -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) |
73 |
72
|
exp53 |
|- ( C e. On -> ( A e. On -> ( Lim x -> ( (/) e. C -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) ) ) |
74 |
73
|
com13 |
|- ( Lim x -> ( A e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) ) ) |
75 |
74
|
imp4c |
|- ( Lim x -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) |
76 |
75
|
a1dd |
|- ( Lim x -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A. y e. x ( A e. y -> ( C .o A ) e. ( C .o y ) ) -> ( A e. x -> ( C .o A ) e. ( C .o x ) ) ) ) ) |
77 |
6 10 14 18 21 47 76
|
tfinds3 |
|- ( B e. On -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
78 |
77
|
com23 |
|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( ( ( A e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) |
79 |
78
|
exp4a |
|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( ( A e. On /\ C e. On ) -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
80 |
79
|
exp4a |
|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( A e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) ) |
81 |
2 80
|
mpdd |
|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
82 |
81
|
com34 |
|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( (/) e. C -> ( C e. On -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
83 |
82
|
com24 |
|- ( B e. On -> ( C e. On -> ( (/) e. C -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) ) ) |
84 |
83
|
imp31 |
|- ( ( ( B e. On /\ C e. On ) /\ (/) e. C ) -> ( A e. B -> ( C .o A ) e. ( C .o B ) ) ) |