Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ordttop |
|- ( R e. PosetRel -> ( ordTop ` R ) e. Top ) |
2 |
|
snssi |
|- ( x e. dom R -> { x } C_ dom R ) |
3 |
2
|
adantl |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> { x } C_ dom R ) |
4 |
|
sseqin2 |
|- ( { x } C_ dom R <-> ( dom R i^i { x } ) = { x } ) |
5 |
3 4
|
sylib |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> ( dom R i^i { x } ) = { x } ) |
6 |
|
velsn |
|- ( y e. { x } <-> y = x ) |
7 |
|
eqid |
|- dom R = dom R |
8 |
7
|
psref |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> x R x ) |
9 |
8
|
adantr |
|- ( ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) /\ y e. dom R ) -> x R x ) |
10 |
9 9
|
jca |
|- ( ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) /\ y e. dom R ) -> ( x R x /\ x R x ) ) |
11 |
|
breq2 |
|- ( y = x -> ( x R y <-> x R x ) ) |
12 |
|
breq1 |
|- ( y = x -> ( y R x <-> x R x ) ) |
13 |
11 12
|
anbi12d |
|- ( y = x -> ( ( x R y /\ y R x ) <-> ( x R x /\ x R x ) ) ) |
14 |
10 13
|
syl5ibrcom |
|- ( ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) /\ y e. dom R ) -> ( y = x -> ( x R y /\ y R x ) ) ) |
15 |
|
psasym |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x R y /\ y R x ) -> x = y ) |
16 |
15
|
equcomd |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x R y /\ y R x ) -> y = x ) |
17 |
16
|
3expib |
|- ( R e. PosetRel -> ( ( x R y /\ y R x ) -> y = x ) ) |
18 |
17
|
ad2antrr |
|- ( ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) /\ y e. dom R ) -> ( ( x R y /\ y R x ) -> y = x ) ) |
19 |
14 18
|
impbid |
|- ( ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) /\ y e. dom R ) -> ( y = x <-> ( x R y /\ y R x ) ) ) |
20 |
6 19
|
syl5bb |
|- ( ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) /\ y e. dom R ) -> ( y e. { x } <-> ( x R y /\ y R x ) ) ) |
21 |
20
|
rabbi2dva |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> ( dom R i^i { x } ) = { y e. dom R | ( x R y /\ y R x ) } ) |
22 |
5 21
|
eqtr3d |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> { x } = { y e. dom R | ( x R y /\ y R x ) } ) |
23 |
7
|
ordtcld3 |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R /\ x e. dom R ) -> { y e. dom R | ( x R y /\ y R x ) } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) ) |
24 |
23
|
3anidm23 |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> { y e. dom R | ( x R y /\ y R x ) } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) ) |
25 |
22 24
|
eqeltrd |
|- ( ( R e. PosetRel /\ x e. dom R ) -> { x } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) ) |
26 |
25
|
ralrimiva |
|- ( R e. PosetRel -> A. x e. dom R { x } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) ) |
27 |
7
|
ordttopon |
|- ( R e. PosetRel -> ( ordTop ` R ) e. ( TopOn ` dom R ) ) |
28 |
|
toponuni |
|- ( ( ordTop ` R ) e. ( TopOn ` dom R ) -> dom R = U. ( ordTop ` R ) ) |
29 |
27 28
|
syl |
|- ( R e. PosetRel -> dom R = U. ( ordTop ` R ) ) |
30 |
29
|
raleqdv |
|- ( R e. PosetRel -> ( A. x e. dom R { x } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) <-> A. x e. U. ( ordTop ` R ) { x } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) ) ) |
31 |
26 30
|
mpbid |
|- ( R e. PosetRel -> A. x e. U. ( ordTop ` R ) { x } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) ) |
32 |
|
eqid |
|- U. ( ordTop ` R ) = U. ( ordTop ` R ) |
33 |
32
|
ist1 |
|- ( ( ordTop ` R ) e. Fre <-> ( ( ordTop ` R ) e. Top /\ A. x e. U. ( ordTop ` R ) { x } e. ( Clsd ` ( ordTop ` R ) ) ) ) |
34 |
1 31 33
|
sylanbrc |
|- ( R e. PosetRel -> ( ordTop ` R ) e. Fre ) |