Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
osumcl.p |
|- .+ = ( +P ` K ) |
2 |
|
osumcl.o |
|- ._|_ = ( _|_P ` K ) |
3 |
|
osumcl.c |
|- C = ( PSubCl ` K ) |
4 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> K e. HL ) |
5 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> X e. C ) |
6 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
7 |
6 3
|
psubclssatN |
|- ( ( K e. HL /\ X e. C ) -> X C_ ( Atoms ` K ) ) |
8 |
4 5 7
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> X C_ ( Atoms ` K ) ) |
9 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> Y e. C ) |
10 |
6 3
|
psubclssatN |
|- ( ( K e. HL /\ Y e. C ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) ) |
11 |
4 9 10
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> Y C_ ( Atoms ` K ) ) |
12 |
6 1
|
paddssat |
|- ( ( K e. HL /\ X C_ ( Atoms ` K ) /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
13 |
4 8 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
14 |
|
simpll1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) /\ X = (/) ) -> K e. HL ) |
15 |
|
oveq1 |
|- ( X = (/) -> ( X .+ Y ) = ( (/) .+ Y ) ) |
16 |
6 1
|
padd02 |
|- ( ( K e. HL /\ Y C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( (/) .+ Y ) = Y ) |
17 |
4 11 16
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( (/) .+ Y ) = Y ) |
18 |
15 17
|
sylan9eqr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) /\ X = (/) ) -> ( X .+ Y ) = Y ) |
19 |
|
simpll3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) /\ X = (/) ) -> Y e. C ) |
20 |
18 19
|
eqeltrd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) /\ X = (/) ) -> ( X .+ Y ) e. C ) |
21 |
2 3
|
psubcli2N |
|- ( ( K e. HL /\ ( X .+ Y ) e. C ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( X .+ Y ) ) |
22 |
14 20 21
|
syl2anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) /\ X = (/) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( X .+ Y ) ) |
23 |
1 2 3
|
osumcllem11N |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ ( X C_ ( ._|_ ` Y ) /\ X =/= (/) ) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) |
24 |
23
|
anassrs |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) /\ X =/= (/) ) -> ( X .+ Y ) = ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) ) |
25 |
24
|
eqcomd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) /\ X =/= (/) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( X .+ Y ) ) |
26 |
22 25
|
pm2.61dane |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( X .+ Y ) ) |
27 |
6 2 3
|
ispsubclN |
|- ( K e. HL -> ( ( X .+ Y ) e. C <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( X .+ Y ) ) ) ) |
28 |
4 27
|
syl |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( ( X .+ Y ) e. C <-> ( ( X .+ Y ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( ._|_ ` ( ._|_ ` ( X .+ Y ) ) ) = ( X .+ Y ) ) ) ) |
29 |
13 26 28
|
mpbir2and |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. C /\ Y e. C ) /\ X C_ ( ._|_ ` Y ) ) -> ( X .+ Y ) e. C ) |