Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
pl42lem.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
pl42lem.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
pl42lem.j |
|- .\/ = ( join ` K ) |
4 |
|
pl42lem.m |
|- ./\ = ( meet ` K ) |
5 |
|
pl42lem.o |
|- ._|_ = ( oc ` K ) |
6 |
|
pl42lem.f |
|- F = ( pmap ` K ) |
7 |
|
pl42lem.p |
|- .+ = ( +P ` K ) |
8 |
|
simpl1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> K e. HL ) |
9 |
8
|
hllatd |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> K e. Lat ) |
10 |
|
simpl2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> X e. B ) |
11 |
|
simpl3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> Y e. B ) |
12 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( X .\/ Y ) e. B ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( X .\/ Y ) e. B ) |
14 |
|
eqid |
|- ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K ) |
15 |
1 14 6
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ ( X .\/ Y ) e. B ) -> ( F ` ( X .\/ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
16 |
8 13 15
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` ( X .\/ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
17 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> W e. B ) |
18 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( X .\/ W ) e. B ) |
19 |
9 10 17 18
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( X .\/ W ) e. B ) |
20 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> V e. B ) |
21 |
1 3
|
latjcl |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ V e. B ) -> ( Y .\/ V ) e. B ) |
22 |
9 11 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( Y .\/ V ) e. B ) |
23 |
1 4
|
latmcl |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ W ) e. B /\ ( Y .\/ V ) e. B ) -> ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) e. B ) |
24 |
9 19 22 23
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) e. B ) |
25 |
1 14 6
|
pmapssat |
|- ( ( K e. HL /\ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) e. B ) -> ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
26 |
8 24 25
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) |
27 |
8 16 26
|
3jca |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( K e. HL /\ ( F ` ( X .\/ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) ) |
28 |
1 3 6 7
|
pmapjoin |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ Y e. B ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( F ` ( X .\/ Y ) ) ) |
29 |
9 10 11 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( F ` ( X .\/ Y ) ) ) |
30 |
1 3 6 7
|
pmapjoin |
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B /\ W e. B ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( F ` ( X .\/ W ) ) ) |
31 |
9 10 17 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( F ` ( X .\/ W ) ) ) |
32 |
1 3 6 7
|
pmapjoin |
|- ( ( K e. Lat /\ Y e. B /\ V e. B ) -> ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) C_ ( F ` ( Y .\/ V ) ) ) |
33 |
9 11 20 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) C_ ( F ` ( Y .\/ V ) ) ) |
34 |
|
ss2in |
|- ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) C_ ( F ` ( X .\/ W ) ) /\ ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) C_ ( F ` ( Y .\/ V ) ) ) -> ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) C_ ( ( F ` ( X .\/ W ) ) i^i ( F ` ( Y .\/ V ) ) ) ) |
35 |
31 33 34
|
syl2anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) C_ ( ( F ` ( X .\/ W ) ) i^i ( F ` ( Y .\/ V ) ) ) ) |
36 |
1 4 14 6
|
pmapmeet |
|- ( ( K e. HL /\ ( X .\/ W ) e. B /\ ( Y .\/ V ) e. B ) -> ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) = ( ( F ` ( X .\/ W ) ) i^i ( F ` ( Y .\/ V ) ) ) ) |
37 |
8 19 22 36
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) = ( ( F ` ( X .\/ W ) ) i^i ( F ` ( Y .\/ V ) ) ) ) |
38 |
35 37
|
sseqtrrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) C_ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) |
39 |
29 38
|
jca |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( F ` ( X .\/ Y ) ) /\ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) C_ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) |
40 |
14 7
|
paddss12 |
|- ( ( K e. HL /\ ( F ` ( X .\/ Y ) ) C_ ( Atoms ` K ) /\ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) C_ ( Atoms ` K ) ) -> ( ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) C_ ( F ` ( X .\/ Y ) ) /\ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) C_ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) -> ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) ) C_ ( ( F ` ( X .\/ Y ) ) .+ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) ) |
41 |
27 39 40
|
sylc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) ) C_ ( ( F ` ( X .\/ Y ) ) .+ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) |
42 |
1 3 6 7
|
pmapjoin |
|- ( ( K e. Lat /\ ( X .\/ Y ) e. B /\ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) e. B ) -> ( ( F ` ( X .\/ Y ) ) .+ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) C_ ( F ` ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) |
43 |
9 13 24 42
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( F ` ( X .\/ Y ) ) .+ ( F ` ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) C_ ( F ` ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) |
44 |
41 43
|
sstrd |
|- ( ( ( K e. HL /\ X e. B /\ Y e. B ) /\ ( Z e. B /\ W e. B /\ V e. B ) ) -> ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` Y ) ) .+ ( ( ( F ` X ) .+ ( F ` W ) ) i^i ( ( F ` Y ) .+ ( F ` V ) ) ) ) C_ ( F ` ( ( X .\/ Y ) .\/ ( ( X .\/ W ) ./\ ( Y .\/ V ) ) ) ) ) |