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Theorem pmapsub

Description: The projective map of a Hilbert lattice maps to projective subspaces. Part of Theorem 15.5 of MaedaMaeda p. 62. (Contributed by NM, 17-Oct-2011)

Ref Expression
Hypotheses pmapsub.b 
|- B = ( Base ` K )
pmapsub.s 
|- S = ( PSubSp ` K )
pmapsub.m 
|- M = ( pmap ` K )
Assertion pmapsub 
|- ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pmapsub.b 
 |-  B = ( Base ` K )
2 pmapsub.s 
 |-  S = ( PSubSp ` K )
3 pmapsub.m 
 |-  M = ( pmap ` K )
4 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
5 eqid 
 |-  ( Atoms ` K ) = ( Atoms ` K )
6 1 4 5 3 pmapval 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) = { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } )
7 breq1 
 |-  ( c = p -> ( c ( le ` K ) X <-> p ( le ` K ) X ) )
8 7 elrab 
 |-  ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) )
9 1 5 atbase 
 |-  ( p e. ( Atoms ` K ) -> p e. B )
10 9 anim1i 
 |-  ( ( p e. ( Atoms ` K ) /\ p ( le ` K ) X ) -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
11 8 10 sylbi 
 |-  ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) )
12 breq1 
 |-  ( c = q -> ( c ( le ` K ) X <-> q ( le ` K ) X ) )
13 12 elrab 
 |-  ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) )
14 1 5 atbase 
 |-  ( q e. ( Atoms ` K ) -> q e. B )
15 14 anim1i 
 |-  ( ( q e. ( Atoms ` K ) /\ q ( le ` K ) X ) -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
16 13 15 sylbi 
 |-  ( q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } -> ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) )
17 11 16 anim12i 
 |-  ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) )
18 an4 
 |-  ( ( ( p e. B /\ p ( le ` K ) X ) /\ ( q e. B /\ q ( le ` K ) X ) ) <-> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
19 17 18 sylib 
 |-  ( ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) -> ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) )
20 19 anim2i 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) )
21 1 5 atbase 
 |-  ( r e. ( Atoms ` K ) -> r e. B )
22 eqid 
 |-  ( join ` K ) = ( join ` K )
23 1 4 22 latjle12 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) <-> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
24 23 biimpd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( p e. B /\ q e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) )
25 24 3exp2 
 |-  ( K e. Lat -> ( p e. B -> ( q e. B -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) ) )
26 25 impd 
 |-  ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( X e. B -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
27 26 com23 
 |-  ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) ) ) )
28 27 imp43 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
29 28 adantr 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X )
30 1 22 latjcl 
 |-  ( ( K e. Lat /\ p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B )
31 30 3expib 
 |-  ( K e. Lat -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( p ( join ` K ) q ) e. B ) )
32 1 4 lattr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ ( r e. B /\ ( p ( join ` K ) q ) e. B /\ X e. B ) ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
33 32 3exp2 
 |-  ( K e. Lat -> ( r e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( X e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
34 33 com24 
 |-  ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p ( join ` K ) q ) e. B -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
35 31 34 syl5d 
 |-  ( K e. Lat -> ( X e. B -> ( ( p e. B /\ q e. B ) -> ( r e. B -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) ) ) ) )
36 35 imp41 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. B /\ q e. B ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
37 36 adantlrr 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) /\ ( p ( join ` K ) q ) ( le ` K ) X ) -> r ( le ` K ) X ) )
38 29 37 mpan2d 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( ( p e. B /\ q e. B ) /\ ( p ( le ` K ) X /\ q ( le ` K ) X ) ) ) /\ r e. B ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
39 20 21 38 syl2an 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r ( le ` K ) X ) )
40 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> r e. ( Atoms ` K ) )
41 39 40 jctild 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) ) )
42 breq1 
 |-  ( c = r -> ( c ( le ` K ) X <-> r ( le ` K ) X ) )
43 42 elrab 
 |-  ( r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } <-> ( r e. ( Atoms ` K ) /\ r ( le ` K ) X ) )
44 41 43 syl6ibr 
 |-  ( ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) /\ r e. ( Atoms ` K ) ) -> ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
45 44 ralrimiva 
 |-  ( ( ( K e. Lat /\ X e. B ) /\ ( p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } /\ q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) -> A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
46 45 ralrimivva 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) )
47 ssrab2 
 |-  { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K )
48 46 47 jctil 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) )
49 4 22 5 2 ispsubsp 
 |-  ( K e. Lat -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
50 49 adantr 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S <-> ( { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } C_ ( Atoms ` K ) /\ A. p e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. q e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } A. r e. ( Atoms ` K ) ( r ( le ` K ) ( p ( join ` K ) q ) -> r e. { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } ) ) ) )
51 48 50 mpbird 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> { c e. ( Atoms ` K ) | c ( le ` K ) X } e. S )
52 6 51 eqeltrd 
 |-  ( ( K e. Lat /\ X e. B ) -> ( M ` X ) e. S )