Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
vex |
|- x e. _V |
2 |
1
|
elpred |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x < N ) ) ) |
3 |
|
eluzelz |
|- ( x e. ( ZZ>= ` M ) -> x e. ZZ ) |
4 |
|
eluzelz |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> N e. ZZ ) |
5 |
|
zltlem1 |
|- ( ( x e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( x < N <-> x <_ ( N - 1 ) ) ) |
6 |
3 4 5
|
syl2anr |
|- ( ( N e. ( ZZ>= ` M ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( x < N <-> x <_ ( N - 1 ) ) ) |
7 |
6
|
pm5.32da |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x < N ) <-> ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
8 |
|
eluzel2 |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ ) |
9 |
|
eluz1 |
|- ( M e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) |
10 |
8 9
|
syl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( x e. ZZ /\ M <_ x ) ) ) |
11 |
10
|
anbi1d |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) <-> ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
12 |
7 11
|
bitrd |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( x e. ( ZZ>= ` M ) /\ x < N ) <-> ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
13 |
2 12
|
bitrd |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
14 |
|
peano2zm |
|- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ ) |
15 |
4 14
|
syl |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( N - 1 ) e. ZZ ) |
16 |
8 15
|
jca |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) ) |
17 |
16
|
biantrurd |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
18 |
13 17
|
bitrd |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
19 |
|
elfz2 |
|- ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
20 |
|
df-3an |
|- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) ) |
21 |
20
|
anbi1i |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
22 |
|
anass |
|- ( ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
23 |
|
anass |
|- ( ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) <-> ( x e. ZZ /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
24 |
23
|
anbi2i |
|- ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( x e. ZZ /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) ) |
25 |
22 24
|
bitr4i |
|- ( ( ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ x e. ZZ ) /\ ( M <_ x /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
26 |
19 21 25
|
3bitri |
|- ( x e. ( M ... ( N - 1 ) ) <-> ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) /\ ( ( x e. ZZ /\ M <_ x ) /\ x <_ ( N - 1 ) ) ) ) |
27 |
18 26
|
bitr4di |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( x e. Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) <-> x e. ( M ... ( N - 1 ) ) ) ) |
28 |
27
|
eqrdv |
|- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> Pred ( < , ( ZZ>= ` M ) , N ) = ( M ... ( N - 1 ) ) ) |