Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
isprmidlc.1 |
|- B = ( Base ` R ) |
2 |
|
isprmidlc.2 |
|- .x. = ( .r ` R ) |
3 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( R e. CRing /\ P e. ( PrmIdeal ` R ) ) /\ ( I e. B /\ J e. B /\ ( I .x. J ) e. P ) ) -> I e. B ) |
4 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( R e. CRing /\ P e. ( PrmIdeal ` R ) ) /\ ( I e. B /\ J e. B /\ ( I .x. J ) e. P ) ) -> J e. B ) |
5 |
1 2
|
isprmidlc |
|- ( R e. CRing -> ( P e. ( PrmIdeal ` R ) <-> ( P e. ( LIdeal ` R ) /\ P =/= B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( a .x. b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) ) |
6 |
5
|
biimpa |
|- ( ( R e. CRing /\ P e. ( PrmIdeal ` R ) ) -> ( P e. ( LIdeal ` R ) /\ P =/= B /\ A. a e. B A. b e. B ( ( a .x. b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) ) |
7 |
6
|
simp3d |
|- ( ( R e. CRing /\ P e. ( PrmIdeal ` R ) ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( a .x. b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) |
8 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( R e. CRing /\ P e. ( PrmIdeal ` R ) ) /\ ( I e. B /\ J e. B /\ ( I .x. J ) e. P ) ) -> A. a e. B A. b e. B ( ( a .x. b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) |
9 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( R e. CRing /\ P e. ( PrmIdeal ` R ) ) /\ ( I e. B /\ J e. B /\ ( I .x. J ) e. P ) ) -> ( I .x. J ) e. P ) |
10 |
|
oveq12 |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> ( a .x. b ) = ( I .x. J ) ) |
11 |
10
|
eleq1d |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> ( ( a .x. b ) e. P <-> ( I .x. J ) e. P ) ) |
12 |
|
simpl |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> a = I ) |
13 |
12
|
eleq1d |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> ( a e. P <-> I e. P ) ) |
14 |
|
simpr |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> b = J ) |
15 |
14
|
eleq1d |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> ( b e. P <-> J e. P ) ) |
16 |
13 15
|
orbi12d |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> ( ( a e. P \/ b e. P ) <-> ( I e. P \/ J e. P ) ) ) |
17 |
11 16
|
imbi12d |
|- ( ( a = I /\ b = J ) -> ( ( ( a .x. b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) <-> ( ( I .x. J ) e. P -> ( I e. P \/ J e. P ) ) ) ) |
18 |
17
|
rspc2gv |
|- ( ( I e. B /\ J e. B ) -> ( A. a e. B A. b e. B ( ( a .x. b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) -> ( ( I .x. J ) e. P -> ( I e. P \/ J e. P ) ) ) ) |
19 |
18
|
imp31 |
|- ( ( ( ( I e. B /\ J e. B ) /\ A. a e. B A. b e. B ( ( a .x. b ) e. P -> ( a e. P \/ b e. P ) ) ) /\ ( I .x. J ) e. P ) -> ( I e. P \/ J e. P ) ) |
20 |
3 4 8 9 19
|
syl1111anc |
|- ( ( ( R e. CRing /\ P e. ( PrmIdeal ` R ) ) /\ ( I e. B /\ J e. B /\ ( I .x. J ) e. P ) ) -> ( I e. P \/ J e. P ) ) |