Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
psdvsca.s |
|- S = ( I mPwSer R ) |
2 |
|
psdvsca.b |
|- B = ( Base ` S ) |
3 |
|
psdvsca.m |
|- .x. = ( .s ` S ) |
4 |
|
psdvsca.k |
|- K = ( Base ` R ) |
5 |
|
psdvsca.r |
|- ( ph -> R e. CRing ) |
6 |
|
psdvsca.x |
|- ( ph -> X e. I ) |
7 |
|
psdvsca.f |
|- ( ph -> F e. B ) |
8 |
|
psdvsca.c |
|- ( ph -> C e. K ) |
9 |
|
eqid |
|- ( Base ` R ) = ( Base ` R ) |
10 |
|
eqid |
|- { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } = { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } |
11 |
5
|
crngringd |
|- ( ph -> R e. Ring ) |
12 |
|
ringmgm |
|- ( R e. Ring -> R e. Mgm ) |
13 |
11 12
|
syl |
|- ( ph -> R e. Mgm ) |
14 |
1 3 4 2 11 8 7
|
psrvscacl |
|- ( ph -> ( C .x. F ) e. B ) |
15 |
1 2 13 6 14
|
psdcl |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( C .x. F ) ) e. B ) |
16 |
1 9 10 2 15
|
psrelbas |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( C .x. F ) ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
17 |
16
|
ffnd |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( C .x. F ) ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
18 |
1 2 13 6 7
|
psdcl |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B ) |
19 |
1 3 4 2 11 8 18
|
psrvscacl |
|- ( ph -> ( C .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ) e. B ) |
20 |
1 9 10 2 19
|
psrelbas |
|- ( ph -> ( C .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ) : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> ( Base ` R ) ) |
21 |
20
|
ffnd |
|- ( ph -> ( C .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ) Fn { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
22 |
11
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> R e. Ring ) |
23 |
10
|
psrbagf |
|- ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } -> d : I --> NN0 ) |
24 |
23
|
adantl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d : I --> NN0 ) |
25 |
6
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> X e. I ) |
26 |
24 25
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d ` X ) e. NN0 ) |
27 |
|
peano2nn0 |
|- ( ( d ` X ) e. NN0 -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. NN0 ) |
28 |
27
|
nn0zd |
|- ( ( d ` X ) e. NN0 -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. ZZ ) |
29 |
26 28
|
syl |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( d ` X ) + 1 ) e. ZZ ) |
30 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> C e. K ) |
31 |
1 4 10 2 7
|
psrelbas |
|- ( ph -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> K ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F : { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } --> K ) |
33 |
|
simpr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
34 |
|
reldmpsr |
|- Rel dom mPwSer |
35 |
1 2 34
|
strov2rcl |
|- ( F e. B -> I e. _V ) |
36 |
7 35
|
syl |
|- ( ph -> I e. _V ) |
37 |
10
|
psrbagsn |
|- ( I e. _V -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
38 |
36 37
|
syl |
|- ( ph -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
39 |
38
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
40 |
10
|
psrbagaddcl |
|- ( ( d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } /\ ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
41 |
33 39 40
|
syl2anc |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) |
42 |
32 41
|
ffvelcdmd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) e. K ) |
43 |
|
eqid |
|- ( .g ` R ) = ( .g ` R ) |
44 |
|
eqid |
|- ( .r ` R ) = ( .r ` R ) |
45 |
4 43 44
|
mulgass3 |
|- ( ( R e. Ring /\ ( ( ( d ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ C e. K /\ ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) e. K ) ) -> ( C ( .r ` R ) ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( C ( .r ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
46 |
22 29 30 42 45
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( C ( .r ` R ) ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( C ( .r ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
47 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> F e. B ) |
48 |
1 2 10 25 47 33
|
psdcoef |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` d ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) |
49 |
48
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( C ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` d ) ) = ( C ( .r ` R ) ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
50 |
1 3 4 2 44 10 30 47 41
|
psrvscaval |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( C .x. F ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) = ( C ( .r ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) |
51 |
50
|
oveq2d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( C .x. F ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( C ( .r ` R ) ( F ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) ) |
52 |
46 49 51
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( C .x. F ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) = ( C ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` d ) ) ) |
53 |
14
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( C .x. F ) e. B ) |
54 |
1 2 10 25 53 33
|
psdcoef |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( C .x. F ) ) ` d ) = ( ( ( d ` X ) + 1 ) ( .g ` R ) ( ( C .x. F ) ` ( d oF + ( y e. I |-> if ( y = X , 1 , 0 ) ) ) ) ) ) |
55 |
18
|
adantr |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) e. B ) |
56 |
1 3 4 2 44 10 30 55 33
|
psrvscaval |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( C .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ) ` d ) = ( C ( .r ` R ) ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ` d ) ) ) |
57 |
52 54 56
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ d e. { h e. ( NN0 ^m I ) | ( `' h " NN ) e. Fin } ) -> ( ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( C .x. F ) ) ` d ) = ( ( C .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ) ` d ) ) |
58 |
17 21 57
|
eqfnfvd |
|- ( ph -> ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` ( C .x. F ) ) = ( C .x. ( ( ( I mPSDer R ) ` X ) ` F ) ) ) |