Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
ssequn2 |
|- ( B C_ A <-> ( A u. B ) = A ) |
2 |
|
pweq |
|- ( ( A u. B ) = A -> ~P ( A u. B ) = ~P A ) |
3 |
|
eqimss |
|- ( ~P ( A u. B ) = ~P A -> ~P ( A u. B ) C_ ~P A ) |
4 |
2 3
|
syl |
|- ( ( A u. B ) = A -> ~P ( A u. B ) C_ ~P A ) |
5 |
1 4
|
sylbi |
|- ( B C_ A -> ~P ( A u. B ) C_ ~P A ) |
6 |
|
ssequn1 |
|- ( A C_ B <-> ( A u. B ) = B ) |
7 |
|
pweq |
|- ( ( A u. B ) = B -> ~P ( A u. B ) = ~P B ) |
8 |
|
eqimss |
|- ( ~P ( A u. B ) = ~P B -> ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) |
9 |
7 8
|
syl |
|- ( ( A u. B ) = B -> ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) |
10 |
6 9
|
sylbi |
|- ( A C_ B -> ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) |
11 |
5 10
|
orim12i |
|- ( ( B C_ A \/ A C_ B ) -> ( ~P ( A u. B ) C_ ~P A \/ ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) ) |
12 |
11
|
orcoms |
|- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) -> ( ~P ( A u. B ) C_ ~P A \/ ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) ) |
13 |
|
ssun |
|- ( ( ~P ( A u. B ) C_ ~P A \/ ~P ( A u. B ) C_ ~P B ) -> ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) ) |
14 |
12 13
|
syl |
|- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) -> ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) ) |
15 |
|
vex |
|- x e. _V |
16 |
15
|
snss |
|- ( x e. A <-> { x } C_ A ) |
17 |
|
vex |
|- y e. _V |
18 |
17
|
snss |
|- ( y e. B <-> { y } C_ B ) |
19 |
|
unss12 |
|- ( ( { x } C_ A /\ { y } C_ B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) ) |
20 |
16 18 19
|
syl2anb |
|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) ) |
21 |
|
zfpair2 |
|- { x , y } e. _V |
22 |
21
|
elpw |
|- ( { x , y } e. ~P ( A u. B ) <-> { x , y } C_ ( A u. B ) ) |
23 |
|
df-pr |
|- { x , y } = ( { x } u. { y } ) |
24 |
23
|
sseq1i |
|- ( { x , y } C_ ( A u. B ) <-> ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) ) |
25 |
22 24
|
bitr2i |
|- ( ( { x } u. { y } ) C_ ( A u. B ) <-> { x , y } e. ~P ( A u. B ) ) |
26 |
20 25
|
sylib |
|- ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ~P ( A u. B ) ) |
27 |
|
ssel |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( { x , y } e. ~P ( A u. B ) -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) ) ) |
28 |
26 27
|
syl5 |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) ) ) |
29 |
28
|
expcomd |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( y e. B -> ( x e. A -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) ) ) ) |
30 |
29
|
imp31 |
|- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) ) |
31 |
|
elun |
|- ( { x , y } e. ( ~P A u. ~P B ) <-> ( { x , y } e. ~P A \/ { x , y } e. ~P B ) ) |
32 |
30 31
|
sylib |
|- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> ( { x , y } e. ~P A \/ { x , y } e. ~P B ) ) |
33 |
21
|
elpw |
|- ( { x , y } e. ~P A <-> { x , y } C_ A ) |
34 |
15 17
|
prss |
|- ( ( x e. A /\ y e. A ) <-> { x , y } C_ A ) |
35 |
33 34
|
bitr4i |
|- ( { x , y } e. ~P A <-> ( x e. A /\ y e. A ) ) |
36 |
35
|
simprbi |
|- ( { x , y } e. ~P A -> y e. A ) |
37 |
21
|
elpw |
|- ( { x , y } e. ~P B <-> { x , y } C_ B ) |
38 |
15 17
|
prss |
|- ( ( x e. B /\ y e. B ) <-> { x , y } C_ B ) |
39 |
37 38
|
bitr4i |
|- ( { x , y } e. ~P B <-> ( x e. B /\ y e. B ) ) |
40 |
39
|
simplbi |
|- ( { x , y } e. ~P B -> x e. B ) |
41 |
36 40
|
orim12i |
|- ( ( { x , y } e. ~P A \/ { x , y } e. ~P B ) -> ( y e. A \/ x e. B ) ) |
42 |
32 41
|
syl |
|- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> ( y e. A \/ x e. B ) ) |
43 |
42
|
ord |
|- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ x e. A ) -> ( -. y e. A -> x e. B ) ) |
44 |
43
|
impancom |
|- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ -. y e. A ) -> ( x e. A -> x e. B ) ) |
45 |
44
|
ssrdv |
|- ( ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ y e. B ) /\ -. y e. A ) -> A C_ B ) |
46 |
45
|
exp31 |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( y e. B -> ( -. y e. A -> A C_ B ) ) ) |
47 |
|
con1b |
|- ( ( -. y e. A -> A C_ B ) <-> ( -. A C_ B -> y e. A ) ) |
48 |
46 47
|
syl6ib |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( y e. B -> ( -. A C_ B -> y e. A ) ) ) |
49 |
48
|
com23 |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( -. A C_ B -> ( y e. B -> y e. A ) ) ) |
50 |
49
|
imp |
|- ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ -. A C_ B ) -> ( y e. B -> y e. A ) ) |
51 |
50
|
ssrdv |
|- ( ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) /\ -. A C_ B ) -> B C_ A ) |
52 |
51
|
ex |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( -. A C_ B -> B C_ A ) ) |
53 |
52
|
orrd |
|- ( ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) -> ( A C_ B \/ B C_ A ) ) |
54 |
14 53
|
impbii |
|- ( ( A C_ B \/ B C_ A ) <-> ~P ( A u. B ) C_ ( ~P A u. ~P B ) ) |