Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
r1elwf |
|- ( A e. ( R1 ` B ) -> A e. U. ( R1 " On ) ) |
2 |
|
elfvdm |
|- ( A e. ( R1 ` B ) -> B e. dom R1 ) |
3 |
1 2
|
jca |
|- ( A e. ( R1 ` B ) -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) |
4 |
3
|
a1i |
|- ( Lim B -> ( A e. ( R1 ` B ) -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) ) |
5 |
|
r1elwf |
|- ( ~P A e. ( R1 ` B ) -> ~P A e. U. ( R1 " On ) ) |
6 |
|
pwwf |
|- ( A e. U. ( R1 " On ) <-> ~P A e. U. ( R1 " On ) ) |
7 |
5 6
|
sylibr |
|- ( ~P A e. ( R1 ` B ) -> A e. U. ( R1 " On ) ) |
8 |
|
elfvdm |
|- ( ~P A e. ( R1 ` B ) -> B e. dom R1 ) |
9 |
7 8
|
jca |
|- ( ~P A e. ( R1 ` B ) -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) |
10 |
9
|
a1i |
|- ( Lim B -> ( ~P A e. ( R1 ` B ) -> ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) ) |
11 |
|
limsuc |
|- ( Lim B -> ( ( rank ` A ) e. B <-> suc ( rank ` A ) e. B ) ) |
12 |
11
|
adantr |
|- ( ( Lim B /\ ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) -> ( ( rank ` A ) e. B <-> suc ( rank ` A ) e. B ) ) |
13 |
|
rankpwi |
|- ( A e. U. ( R1 " On ) -> ( rank ` ~P A ) = suc ( rank ` A ) ) |
14 |
13
|
ad2antrl |
|- ( ( Lim B /\ ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) -> ( rank ` ~P A ) = suc ( rank ` A ) ) |
15 |
14
|
eleq1d |
|- ( ( Lim B /\ ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) -> ( ( rank ` ~P A ) e. B <-> suc ( rank ` A ) e. B ) ) |
16 |
12 15
|
bitr4d |
|- ( ( Lim B /\ ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) -> ( ( rank ` A ) e. B <-> ( rank ` ~P A ) e. B ) ) |
17 |
|
rankr1ag |
|- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) -> ( A e. ( R1 ` B ) <-> ( rank ` A ) e. B ) ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( Lim B /\ ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) -> ( A e. ( R1 ` B ) <-> ( rank ` A ) e. B ) ) |
19 |
|
rankr1ag |
|- ( ( ~P A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) -> ( ~P A e. ( R1 ` B ) <-> ( rank ` ~P A ) e. B ) ) |
20 |
6 19
|
sylanb |
|- ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) -> ( ~P A e. ( R1 ` B ) <-> ( rank ` ~P A ) e. B ) ) |
21 |
20
|
adantl |
|- ( ( Lim B /\ ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) -> ( ~P A e. ( R1 ` B ) <-> ( rank ` ~P A ) e. B ) ) |
22 |
16 18 21
|
3bitr4d |
|- ( ( Lim B /\ ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) ) -> ( A e. ( R1 ` B ) <-> ~P A e. ( R1 ` B ) ) ) |
23 |
22
|
ex |
|- ( Lim B -> ( ( A e. U. ( R1 " On ) /\ B e. dom R1 ) -> ( A e. ( R1 ` B ) <-> ~P A e. ( R1 ` B ) ) ) ) |
24 |
4 10 23
|
pm5.21ndd |
|- ( Lim B -> ( A e. ( R1 ` B ) <-> ~P A e. ( R1 ` B ) ) ) |