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Theorem sgrp2sgrp

Description: Equivalence of the two definitions of a semigroup. (Contributed by AV, 16-Jan-2020)

Ref Expression
Assertion sgrp2sgrp 
|- ( M e. SGrpALT <-> M e. Smgrp )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mgm2mgm 
 |-  ( M e. MgmALT <-> M e. Mgm )
2 1 anbi1i 
 |-  ( ( M e. MgmALT /\ ( +g ` M ) assLaw ( Base ` M ) ) <-> ( M e. Mgm /\ ( +g ` M ) assLaw ( Base ` M ) ) )
3 fvex 
 |-  ( +g ` M ) e. _V
4 fvex 
 |-  ( Base ` M ) e. _V
5 3 4 pm3.2i 
 |-  ( ( +g ` M ) e. _V /\ ( Base ` M ) e. _V )
6 isasslaw 
 |-  ( ( ( +g ` M ) e. _V /\ ( Base ` M ) e. _V ) -> ( ( +g ` M ) assLaw ( Base ` M ) <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
7 5 6 mp1i 
 |-  ( M e. Mgm -> ( ( +g ` M ) assLaw ( Base ` M ) <-> A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
8 7 pm5.32i 
 |-  ( ( M e. Mgm /\ ( +g ` M ) assLaw ( Base ` M ) ) <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
9 2 8 bitri 
 |-  ( ( M e. MgmALT /\ ( +g ` M ) assLaw ( Base ` M ) ) <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
10 eqid 
 |-  ( Base ` M ) = ( Base ` M )
11 eqid 
 |-  ( +g ` M ) = ( +g ` M )
12 10 11 issgrpALT 
 |-  ( M e. SGrpALT <-> ( M e. MgmALT /\ ( +g ` M ) assLaw ( Base ` M ) ) )
13 10 11 issgrp 
 |-  ( M e. Smgrp <-> ( M e. Mgm /\ A. x e. ( Base ` M ) A. y e. ( Base ` M ) A. z e. ( Base ` M ) ( ( x ( +g ` M ) y ) ( +g ` M ) z ) = ( x ( +g ` M ) ( y ( +g ` M ) z ) ) ) )
14 9 12 13 3bitr4i 
 |-  ( M e. SGrpALT <-> M e. Smgrp )