Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sopo |
|- ( R Or X -> R Po X ) |
2 |
1
|
ad2antrr |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> R Po X ) |
3 |
|
simplr1 |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> A e. X ) |
4 |
|
simplr2 |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> B e. X ) |
5 |
|
simplr3 |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> C e. X ) |
6 |
4 5
|
ifcld |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> if ( B R C , B , C ) e. X ) |
7 |
3 6 4
|
3jca |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> ( A e. X /\ if ( B R C , B , C ) e. X /\ B e. X ) ) |
8 |
|
simpr |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> A R if ( B R C , B , C ) ) |
9 |
|
simpll |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> R Or X ) |
10 |
|
somin1 |
|- ( ( R Or X /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) B ) |
11 |
9 4 5 10
|
syl12anc |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) B ) |
12 |
|
poltletr |
|- ( ( R Po X /\ ( A e. X /\ if ( B R C , B , C ) e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( A R if ( B R C , B , C ) /\ if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) B ) -> A R B ) ) |
13 |
12
|
imp |
|- ( ( ( R Po X /\ ( A e. X /\ if ( B R C , B , C ) e. X /\ B e. X ) ) /\ ( A R if ( B R C , B , C ) /\ if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) B ) ) -> A R B ) |
14 |
2 7 8 11 13
|
syl22anc |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> A R B ) |
15 |
3 6 5
|
3jca |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> ( A e. X /\ if ( B R C , B , C ) e. X /\ C e. X ) ) |
16 |
|
somin2 |
|- ( ( R Or X /\ ( B e. X /\ C e. X ) ) -> if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) C ) |
17 |
9 4 5 16
|
syl12anc |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) C ) |
18 |
|
poltletr |
|- ( ( R Po X /\ ( A e. X /\ if ( B R C , B , C ) e. X /\ C e. X ) ) -> ( ( A R if ( B R C , B , C ) /\ if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) C ) -> A R C ) ) |
19 |
18
|
imp |
|- ( ( ( R Po X /\ ( A e. X /\ if ( B R C , B , C ) e. X /\ C e. X ) ) /\ ( A R if ( B R C , B , C ) /\ if ( B R C , B , C ) ( R u. _I ) C ) ) -> A R C ) |
20 |
2 15 8 17 19
|
syl22anc |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> A R C ) |
21 |
14 20
|
jca |
|- ( ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) /\ A R if ( B R C , B , C ) ) -> ( A R B /\ A R C ) ) |
22 |
21
|
ex |
|- ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A R if ( B R C , B , C ) -> ( A R B /\ A R C ) ) ) |
23 |
|
breq2 |
|- ( B = if ( B R C , B , C ) -> ( A R B <-> A R if ( B R C , B , C ) ) ) |
24 |
|
breq2 |
|- ( C = if ( B R C , B , C ) -> ( A R C <-> A R if ( B R C , B , C ) ) ) |
25 |
23 24
|
ifboth |
|- ( ( A R B /\ A R C ) -> A R if ( B R C , B , C ) ) |
26 |
22 25
|
impbid1 |
|- ( ( R Or X /\ ( A e. X /\ B e. X /\ C e. X ) ) -> ( A R if ( B R C , B , C ) <-> ( A R B /\ A R C ) ) ) |