Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
sprsymrelf.p |
|- P = ~P ( Pairs ` V ) |
2 |
|
sprsymrelf.r |
|- R = { r e. ~P ( V X. V ) | A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) } |
3 |
|
sprsymrelf.f |
|- F = ( p e. P |-> { <. x , y >. | E. c e. p c = { x , y } } ) |
4 |
1 2 3
|
sprsymrelf |
|- F : P --> R |
5 |
4
|
a1i |
|- ( V e. W -> F : P --> R ) |
6 |
|
breq |
|- ( r = t -> ( x r y <-> x t y ) ) |
7 |
|
breq |
|- ( r = t -> ( y r x <-> y t x ) ) |
8 |
6 7
|
bibi12d |
|- ( r = t -> ( ( x r y <-> y r x ) <-> ( x t y <-> y t x ) ) ) |
9 |
8
|
2ralbidv |
|- ( r = t -> ( A. x e. V A. y e. V ( x r y <-> y r x ) <-> A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) ) |
10 |
9 2
|
elrab2 |
|- ( t e. R <-> ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) ) |
11 |
|
eqid |
|- { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } = { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } |
12 |
11
|
sprsymrelfolem1 |
|- { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } e. ~P ( Pairs ` V ) |
13 |
12 1
|
eleqtrri |
|- { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } e. P |
14 |
13
|
a1i |
|- ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) -> { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } e. P ) |
15 |
|
rexeq |
|- ( f = { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } -> ( E. c e. f c = { x , y } <-> E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } ) ) |
16 |
15
|
opabbidv |
|- ( f = { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } -> { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) |
17 |
16
|
eqeq2d |
|- ( f = { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } -> ( t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } <-> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) |
18 |
17
|
adantl |
|- ( ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) /\ f = { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } ) -> ( t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } <-> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) |
19 |
|
velpw |
|- ( t e. ~P ( V X. V ) <-> t C_ ( V X. V ) ) |
20 |
|
xpss |
|- ( V X. V ) C_ ( _V X. _V ) |
21 |
|
sstr2 |
|- ( t C_ ( V X. V ) -> ( ( V X. V ) C_ ( _V X. _V ) -> t C_ ( _V X. _V ) ) ) |
22 |
20 21
|
mpi |
|- ( t C_ ( V X. V ) -> t C_ ( _V X. _V ) ) |
23 |
|
df-rel |
|- ( Rel t <-> t C_ ( _V X. _V ) ) |
24 |
22 23
|
sylibr |
|- ( t C_ ( V X. V ) -> Rel t ) |
25 |
24
|
adantl |
|- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> Rel t ) |
26 |
|
dfrel4v |
|- ( Rel t <-> t = { <. x , y >. | x t y } ) |
27 |
|
nfv |
|- F/ x ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) |
28 |
|
nfra1 |
|- F/ x A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) |
29 |
27 28
|
nfan |
|- F/ x ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) |
30 |
|
nfv |
|- F/ y ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) |
31 |
|
nfra2w |
|- F/ y A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) |
32 |
30 31
|
nfan |
|- F/ y ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) |
33 |
11
|
sprsymrelfolem2 |
|- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( x t y <-> E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } ) ) |
34 |
33
|
3expa |
|- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( x t y <-> E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } ) ) |
35 |
29 32 34
|
opabbid |
|- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> { <. x , y >. | x t y } = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) |
36 |
35
|
eqeq2d |
|- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } <-> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) |
37 |
36
|
biimpd |
|- ( ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) |
38 |
37
|
ex |
|- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) ) |
39 |
38
|
com23 |
|- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( t = { <. x , y >. | x t y } -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) ) |
40 |
26 39
|
syl5bi |
|- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( Rel t -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) ) |
41 |
25 40
|
mpd |
|- ( ( V e. W /\ t C_ ( V X. V ) ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) |
42 |
41
|
expcom |
|- ( t C_ ( V X. V ) -> ( V e. W -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) ) |
43 |
42
|
com23 |
|- ( t C_ ( V X. V ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> ( V e. W -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) ) |
44 |
19 43
|
sylbi |
|- ( t e. ~P ( V X. V ) -> ( A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) -> ( V e. W -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) ) ) |
45 |
44
|
imp31 |
|- ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) -> t = { <. x , y >. | E. c e. { q e. ( Pairs ` V ) | A. a e. V A. b e. V ( q = { a , b } -> a t b ) } c = { x , y } } ) |
46 |
14 18 45
|
rspcedvd |
|- ( ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) /\ V e. W ) -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) |
47 |
46
|
ex |
|- ( ( t e. ~P ( V X. V ) /\ A. x e. V A. y e. V ( x t y <-> y t x ) ) -> ( V e. W -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) ) |
48 |
10 47
|
sylbi |
|- ( t e. R -> ( V e. W -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) ) |
49 |
48
|
impcom |
|- ( ( V e. W /\ t e. R ) -> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) |
50 |
1 2 3
|
sprsymrelfv |
|- ( f e. P -> ( F ` f ) = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) |
51 |
50
|
adantl |
|- ( ( ( V e. W /\ t e. R ) /\ f e. P ) -> ( F ` f ) = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) |
52 |
51
|
eqeq2d |
|- ( ( ( V e. W /\ t e. R ) /\ f e. P ) -> ( t = ( F ` f ) <-> t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) ) |
53 |
52
|
rexbidva |
|- ( ( V e. W /\ t e. R ) -> ( E. f e. P t = ( F ` f ) <-> E. f e. P t = { <. x , y >. | E. c e. f c = { x , y } } ) ) |
54 |
49 53
|
mpbird |
|- ( ( V e. W /\ t e. R ) -> E. f e. P t = ( F ` f ) ) |
55 |
54
|
ralrimiva |
|- ( V e. W -> A. t e. R E. f e. P t = ( F ` f ) ) |
56 |
|
dffo3 |
|- ( F : P -onto-> R <-> ( F : P --> R /\ A. t e. R E. f e. P t = ( F ` f ) ) ) |
57 |
5 55 56
|
sylanbrc |
|- ( V e. W -> F : P -onto-> R ) |