Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
srgbinom.s |
|- S = ( Base ` R ) |
2 |
|
srgbinom.m |
|- .X. = ( .r ` R ) |
3 |
|
srgbinom.t |
|- .x. = ( .g ` R ) |
4 |
|
srgbinom.a |
|- .+ = ( +g ` R ) |
5 |
|
srgbinom.g |
|- G = ( mulGrp ` R ) |
6 |
|
srgbinom.e |
|- .^ = ( .g ` G ) |
7 |
|
srgbinomlem.r |
|- ( ph -> R e. SRing ) |
8 |
|
srgbinomlem.a |
|- ( ph -> A e. S ) |
9 |
|
srgbinomlem.b |
|- ( ph -> B e. S ) |
10 |
|
srgbinomlem.c |
|- ( ph -> ( A .X. B ) = ( B .X. A ) ) |
11 |
|
srgbinomlem.n |
|- ( ph -> N e. NN0 ) |
12 |
|
srgbinomlem.i |
|- ( ps -> ( N .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... N ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( N - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
13 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
srgbinomlem3 |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
14 |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
srgbinomlem4 |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
15 |
13 14
|
oveq12d |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) = ( ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
16 |
5
|
srgmgp |
|- ( R e. SRing -> G e. Mnd ) |
17 |
7 16
|
syl |
|- ( ph -> G e. Mnd ) |
18 |
|
srgmnd |
|- ( R e. SRing -> R e. Mnd ) |
19 |
7 18
|
syl |
|- ( ph -> R e. Mnd ) |
20 |
1 4
|
mndcl |
|- ( ( R e. Mnd /\ A e. S /\ B e. S ) -> ( A .+ B ) e. S ) |
21 |
19 8 9 20
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( A .+ B ) e. S ) |
22 |
17 11 21
|
3jca |
|- ( ph -> ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) ) |
23 |
22
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) ) |
24 |
5 1
|
mgpbas |
|- S = ( Base ` G ) |
25 |
5 2
|
mgpplusg |
|- .X. = ( +g ` G ) |
26 |
24 6 25
|
mulgnn0p1 |
|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) ) |
27 |
23 26
|
syl |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) ) |
28 |
24 6
|
mulgnn0cl |
|- ( ( G e. Mnd /\ N e. NN0 /\ ( A .+ B ) e. S ) -> ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S ) |
29 |
17 11 21 28
|
syl3anc |
|- ( ph -> ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S ) |
30 |
29 8 9
|
3jca |
|- ( ph -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) |
31 |
7 30
|
jca |
|- ( ph -> ( R e. SRing /\ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) ) |
32 |
31
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( R e. SRing /\ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) ) |
33 |
1 4 2
|
srgdi |
|- ( ( R e. SRing /\ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) e. S /\ A e. S /\ B e. S ) ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) = ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) ) |
34 |
32 33
|
syl |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. ( A .+ B ) ) = ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) ) |
35 |
27 34
|
eqtrd |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. A ) .+ ( ( N .^ ( A .+ B ) ) .X. B ) ) ) |
36 |
|
elfzelz |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. ZZ ) |
37 |
|
bcpasc |
|- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) ) |
38 |
11 36 37
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) = ( ( N + 1 ) _C k ) ) |
39 |
38
|
oveq1d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) |
40 |
19
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. Mnd ) |
41 |
|
bccl |
|- ( ( N e. NN0 /\ k e. ZZ ) -> ( N _C k ) e. NN0 ) |
42 |
11 36 41
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C k ) e. NN0 ) |
43 |
36
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. ZZ ) |
44 |
|
peano2zm |
|- ( k e. ZZ -> ( k - 1 ) e. ZZ ) |
45 |
43 44
|
syl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ ) |
46 |
|
bccl |
|- ( ( N e. NN0 /\ ( k - 1 ) e. ZZ ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) |
47 |
11 45 46
|
syl2an2r |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) |
48 |
7
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> R e. SRing ) |
49 |
17
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> G e. Mnd ) |
50 |
|
fznn0sub |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) |
51 |
50
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 ) |
52 |
8
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> A e. S ) |
53 |
24 6
|
mulgnn0cl |
|- ( ( G e. Mnd /\ ( ( N + 1 ) - k ) e. NN0 /\ A e. S ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S ) |
54 |
49 51 52 53
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S ) |
55 |
|
elfznn0 |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> k e. NN0 ) |
56 |
55
|
adantl |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> k e. NN0 ) |
57 |
9
|
adantr |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> B e. S ) |
58 |
24 6
|
mulgnn0cl |
|- ( ( G e. Mnd /\ k e. NN0 /\ B e. S ) -> ( k .^ B ) e. S ) |
59 |
49 56 57 58
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( k .^ B ) e. S ) |
60 |
1 2
|
srgcl |
|- ( ( R e. SRing /\ ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) e. S /\ ( k .^ B ) e. S ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) |
61 |
48 54 59 60
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) |
62 |
1 3 4
|
mulgnn0dir |
|- ( ( R e. Mnd /\ ( ( N _C k ) e. NN0 /\ ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) |
63 |
40 42 47 61 62
|
syl13anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N _C k ) + ( N _C ( k - 1 ) ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) |
64 |
39 63
|
eqtr3d |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) = ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) |
65 |
64
|
mpteq2dva |
|- ( ph -> ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |
66 |
65
|
oveq2d |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
67 |
|
srgcmn |
|- ( R e. SRing -> R e. CMnd ) |
68 |
7 67
|
syl |
|- ( ph -> R e. CMnd ) |
69 |
|
fzfid |
|- ( ph -> ( 0 ... ( N + 1 ) ) e. Fin ) |
70 |
1 3
|
mulgnn0cl |
|- ( ( R e. Mnd /\ ( N _C k ) e. NN0 /\ ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
71 |
40 42 61 70
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
72 |
36 44
|
syl |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) -> ( k - 1 ) e. ZZ ) |
73 |
11 72 46
|
syl2an |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 ) |
74 |
1 3
|
mulgnn0cl |
|- ( ( R e. Mnd /\ ( N _C ( k - 1 ) ) e. NN0 /\ ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) e. S ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
75 |
40 73 61 74
|
syl3anc |
|- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) ) -> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) e. S ) |
76 |
|
eqid |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) |
77 |
|
eqid |
|- ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) = ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) |
78 |
1 4 68 69 71 75 76 77
|
gsummptfidmadd |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) .+ ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
79 |
66 78
|
eqtrd |
|- ( ph -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
80 |
79
|
adantr |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) = ( ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) .+ ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( N _C ( k - 1 ) ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) ) |
81 |
15 35 80
|
3eqtr4d |
|- ( ( ph /\ ps ) -> ( ( N + 1 ) .^ ( A .+ B ) ) = ( R gsum ( k e. ( 0 ... ( N + 1 ) ) |-> ( ( ( N + 1 ) _C k ) .x. ( ( ( ( N + 1 ) - k ) .^ A ) .X. ( k .^ B ) ) ) ) ) ) |