| Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
| 1 |
|
n0 |
|- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B ) |
| 2 |
|
ssltex1 |
|- ( A < A e. _V ) |
| 3 |
|
ssltex2 |
|- ( B < C e. _V ) |
| 4 |
2 3
|
anim12i |
|- ( ( A < ( A e. _V /\ C e. _V ) ) |
| 5 |
4
|
adantl |
|- ( ( y e. B /\ ( A < ( A e. _V /\ C e. _V ) ) |
| 6 |
|
ssltss1 |
|- ( A < A C_ No ) |
| 7 |
6
|
ad2antrl |
|- ( ( y e. B /\ ( A < A C_ No ) |
| 8 |
|
ssltss2 |
|- ( B < C C_ No ) |
| 9 |
8
|
ad2antll |
|- ( ( y e. B /\ ( A < C C_ No ) |
| 10 |
7
|
adantr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < A C_ No ) |
| 11 |
|
simprl |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < x e. A ) |
| 12 |
10 11
|
sseldd |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < x e. No ) |
| 13 |
|
ssltss1 |
|- ( B < B C_ No ) |
| 14 |
13
|
ad2antll |
|- ( ( y e. B /\ ( A < B C_ No ) |
| 15 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < B C_ No ) |
| 16 |
|
simpll |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < y e. B ) |
| 17 |
15 16
|
sseldd |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < y e. No ) |
| 18 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < C C_ No ) |
| 19 |
|
simprr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < z e. C ) |
| 20 |
18 19
|
sseldd |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < z e. No ) |
| 21 |
|
ssltsep |
|- ( A < A. x e. A A. y e. B x |
| 22 |
21
|
ad2antrl |
|- ( ( y e. B /\ ( A < A. x e. A A. y e. B x |
| 23 |
22
|
adantr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < A. x e. A A. y e. B x |
| 24 |
|
rsp |
|- ( A. x e. A A. y e. B x ( x e. A -> A. y e. B x |
| 25 |
23 11 24
|
sylc |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < A. y e. B x |
| 26 |
|
rsp |
|- ( A. y e. B x ( y e. B -> x |
| 27 |
25 16 26
|
sylc |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < x |
| 28 |
|
ssltsep |
|- ( B < A. y e. B A. z e. C y |
| 29 |
28
|
ad2antll |
|- ( ( y e. B /\ ( A < A. y e. B A. z e. C y |
| 30 |
29
|
adantr |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < A. y e. B A. z e. C y |
| 31 |
|
rsp |
|- ( A. y e. B A. z e. C y ( y e. B -> A. z e. C y |
| 32 |
30 16 31
|
sylc |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < A. z e. C y |
| 33 |
|
rsp |
|- ( A. z e. C y ( z e. C -> y |
| 34 |
32 19 33
|
sylc |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < y |
| 35 |
12 17 20 27 34
|
slttrd |
|- ( ( ( y e. B /\ ( A < x |
| 36 |
35
|
ralrimivva |
|- ( ( y e. B /\ ( A < A. x e. A A. z e. C x |
| 37 |
7 9 36
|
3jca |
|- ( ( y e. B /\ ( A < ( A C_ No /\ C C_ No /\ A. x e. A A. z e. C x |
| 38 |
|
brsslt |
|- ( A < ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ ( A C_ No /\ C C_ No /\ A. x e. A A. z e. C x |
| 39 |
5 37 38
|
sylanbrc |
|- ( ( y e. B /\ ( A < A < |
| 40 |
39
|
ex |
|- ( y e. B -> ( ( A < A < |
| 41 |
40
|
exlimiv |
|- ( E. y y e. B -> ( ( A < A < |
| 42 |
1 41
|
sylbi |
|- ( B =/= (/) -> ( ( A < A < |
| 43 |
42
|
com12 |
|- ( ( A < ( B =/= (/) -> A < |
| 44 |
43
|
3impia |
|- ( ( A < A < |