Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendopl.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
tendopl.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
tendopl.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
4 |
|
tendopl.p |
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> S e. E ) |
7 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> U e. E ) |
8 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> V e. E ) |
9 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) e. E ) |
10 |
5 7 8 9
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U P V ) e. E ) |
11 |
1 3
|
tendococl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( U P V ) e. E ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E ) |
12 |
5 6 10 11
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) e. E ) |
13 |
1 3
|
tendococl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ U e. E ) -> ( S o. U ) e. E ) |
14 |
5 6 7 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. U ) e. E ) |
15 |
1 3
|
tendococl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ V e. E ) -> ( S o. V ) e. E ) |
16 |
5 6 8 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. V ) e. E ) |
17 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E ) |
18 |
5 14 16 17
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E ) |
19 |
|
simplll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> K e. HL ) |
20 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> W e. H ) |
21 |
|
simplr1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> S e. E ) |
22 |
|
simpll |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
23 |
|
simplr2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> U e. E ) |
24 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> g e. T ) |
25 |
1 2 3
|
tendocl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T ) |
26 |
22 23 24 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U ` g ) e. T ) |
27 |
|
simplr3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> V e. E ) |
28 |
1 2 3
|
tendocl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T ) |
29 |
22 27 24 28
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( V ` g ) e. T ) |
30 |
1 2 3
|
tendovalco |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( ( U ` g ) e. T /\ ( V ` g ) e. T ) ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) ) |
31 |
19 20 21 26 29 30
|
syl32anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) ) |
32 |
4 2
|
tendopl2 |
|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) |
33 |
23 27 24 32
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) |
34 |
33
|
fveq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) ) |
35 |
1 2 3
|
tendocoval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) ) |
36 |
19 20 21 23 24 35
|
syl221anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. U ) ` g ) = ( S ` ( U ` g ) ) ) |
37 |
1 2 3
|
tendocoval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ V e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) ) |
38 |
19 20 21 27 24 37
|
syl221anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. V ) ` g ) = ( S ` ( V ` g ) ) ) |
39 |
36 38
|
coeq12d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( ( S ` ( U ` g ) ) o. ( S ` ( V ` g ) ) ) ) |
40 |
31 34 39
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) ) |
41 |
22 21 23 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. U ) e. E ) |
42 |
22 21 27 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S o. V ) e. E ) |
43 |
4 2
|
tendopl2 |
|- ( ( ( S o. U ) e. E /\ ( S o. V ) e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) ) |
44 |
41 42 24 43
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) ` g ) o. ( ( S o. V ) ` g ) ) ) |
45 |
22 23 27 9
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U P V ) e. E ) |
46 |
1 2 3
|
tendocoval |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ ( U P V ) e. E ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) ) |
47 |
22 21 45 24 46
|
syl121anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( S ` ( ( U P V ) ` g ) ) ) |
48 |
40 44 47
|
3eqtr4rd |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) ) |
49 |
48
|
ralrimiva |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) ) |
50 |
1 2 3
|
tendoeq1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( S o. ( U P V ) ) e. E /\ ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) e. E ) /\ A. g e. T ( ( S o. ( U P V ) ) ` g ) = ( ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ` g ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ) |
51 |
5 12 18 49 50
|
syl121anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S o. ( U P V ) ) = ( ( S o. U ) P ( S o. V ) ) ) |