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Theorem tendococl

Description: The composition of two trace-preserving endomorphisms (multiplication in the endormorphism ring) is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 9-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendoco.h 
|- H = ( LHyp ` K )
tendoco.e 
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
Assertion tendococl 
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( S o. T ) e. E )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendoco.h 
 |-  H = ( LHyp ` K )
2 tendoco.e 
 |-  E = ( ( TEndo ` K ) ` W )
3 eqid 
 |-  ( le ` K ) = ( le ` K )
4 eqid 
 |-  ( ( LTrn ` K ) ` W ) = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5 eqid 
 |-  ( ( trL ` K ) ` W ) = ( ( trL ` K ) ` W )
6 simp1 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
7 simp2 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> S e. E )
8 1 4 2 tendof 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E ) -> S : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
9 6 7 8 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> S : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
10 simp3 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> T e. E )
11 1 4 2 tendof 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E ) -> T : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
12 6 10 11 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> T : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
13 fco 
 |-  ( ( S : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ T : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S o. T ) : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
14 9 12 13 syl2anc 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( S o. T ) : ( ( LTrn ` K ) ` W ) --> ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
15 simp11l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. HL )
16 simp11r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> W e. H )
17 simp13 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> T e. E )
18 simp2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
19 simp3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
20 1 4 2 tendovalco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ T e. E ) /\ ( f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) ) -> ( T ` ( f o. g ) ) = ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) )
21 15 16 17 18 19 20 syl32anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` ( f o. g ) ) = ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) )
22 21 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) = ( S ` ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) ) )
23 simp12 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S e. E )
24 simp11 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
25 1 4 2 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
26 24 17 18 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
27 1 4 2 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
28 24 17 19 27 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
29 1 4 2 tendovalco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H /\ S e. E ) /\ ( ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ ( T ` g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) ) -> ( S ` ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
30 15 16 23 26 28 29 syl32anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( ( T ` f ) o. ( T ` g ) ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
31 22 30 eqtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
32 1 4 ltrnco 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( f o. g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
33 24 18 19 32 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( f o. g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
34 1 4 2 tendocoval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ T e. E ) /\ ( f o. g ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` ( f o. g ) ) = ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) )
35 24 23 17 33 34 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` ( f o. g ) ) = ( S ` ( T ` ( f o. g ) ) ) )
36 1 4 2 tendocoval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
37 15 16 23 17 18 36 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
38 1 4 2 tendocoval 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ T e. E ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` g ) = ( S ` ( T ` g ) ) )
39 15 16 23 17 19 38 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` g ) = ( S ` ( T ` g ) ) )
40 37 39 coeq12d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( S o. T ) ` f ) o. ( ( S o. T ) ` g ) ) = ( ( S ` ( T ` f ) ) o. ( S ` ( T ` g ) ) ) )
41 31 35 40 3eqtr4d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) /\ g e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` ( f o. g ) ) = ( ( ( S o. T ) ` f ) o. ( ( S o. T ) ` g ) ) )
42 eqid 
 |-  ( Base ` K ) = ( Base ` K )
43 simpl1l 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. HL )
44 43 hllatd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> K e. Lat )
45 simpl1 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
46 simpl2 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> S e. E )
47 simpl3 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> T e. E )
48 simpr 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
49 45 46 47 48 36 syl121anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
50 45 47 48 25 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
51 1 4 2 tendocl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` f ) ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
52 45 46 50 51 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( S ` ( T ` f ) ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
53 49 52 eqeltrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) )
54 42 1 4 5 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( S o. T ) ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
55 45 53 54 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
56 42 1 4 5 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
57 45 50 56 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) e. ( Base ` K ) )
58 42 1 4 5 trlcl 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
59 45 48 58 syl2anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) e. ( Base ` K ) )
60 simpl1r 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> W e. H )
61 43 60 46 47 48 36 syl221anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( S o. T ) ` f ) = ( S ` ( T ` f ) ) )
62 61 fveq2d 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) = ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` ( T ` f ) ) ) )
63 3 1 4 5 2 tendotp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( T ` f ) e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` ( T ` f ) ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) )
64 45 46 50 63 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( S ` ( T ` f ) ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) )
65 62 64 eqbrtrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) )
66 3 1 4 5 2 tendotp 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ T e. E /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) )
67 45 47 48 66 syl3anc 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( T ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) )
68 42 3 44 55 57 59 65 67 lattrd 
 |-  ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) /\ f e. ( ( LTrn ` K ) ` W ) ) -> ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` ( ( S o. T ) ` f ) ) ( le ` K ) ( ( ( trL ` K ) ` W ) ` f ) )
69 3 1 4 5 2 6 14 41 68 istendod 
 |-  ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ T e. E ) -> ( S o. T ) e. E )