Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendopl.h |
|- H = ( LHyp ` K ) |
2 |
|
tendopl.t |
|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W ) |
3 |
|
tendopl.e |
|- E = ( ( TEndo ` K ) ` W ) |
4 |
|
tendopl.p |
|- P = ( s e. E , t e. E |-> ( f e. T |-> ( ( s ` f ) o. ( t ` f ) ) ) ) |
5 |
|
simpl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) ) |
6 |
|
simpr1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> S e. E ) |
7 |
|
simpr2 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> U e. E ) |
8 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ U e. E ) -> ( S P U ) e. E ) |
9 |
5 6 7 8
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S P U ) e. E ) |
10 |
|
simpr3 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> V e. E ) |
11 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S P U ) e. E /\ V e. E ) -> ( ( S P U ) P V ) e. E ) |
12 |
5 9 10 11
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S P U ) P V ) e. E ) |
13 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ U e. E /\ V e. E ) -> ( U P V ) e. E ) |
14 |
5 7 10 13
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( U P V ) e. E ) |
15 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ S e. E /\ ( U P V ) e. E ) -> ( S P ( U P V ) ) e. E ) |
16 |
5 6 14 15
|
syl3anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( S P ( U P V ) ) e. E ) |
17 |
|
coass |
|- ( ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) o. ( V ` g ) ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) |
18 |
|
simplr1 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> S e. E ) |
19 |
|
simplr2 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> U e. E ) |
20 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> g e. T ) |
21 |
4 2
|
tendopl2 |
|- ( ( S e. E /\ U e. E /\ g e. T ) -> ( ( S P U ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) ) |
22 |
18 19 20 21
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S P U ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) ) |
23 |
22
|
coeq1d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) = ( ( ( S ` g ) o. ( U ` g ) ) o. ( V ` g ) ) ) |
24 |
|
simplr3 |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> V e. E ) |
25 |
4 2
|
tendopl2 |
|- ( ( U e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) |
26 |
19 24 20 25
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( U P V ) ` g ) = ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) |
27 |
26
|
coeq2d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U ` g ) o. ( V ` g ) ) ) ) |
28 |
17 23 27
|
3eqtr4a |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) ) |
29 |
9
|
adantr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( S P U ) e. E ) |
30 |
4 2
|
tendopl2 |
|- ( ( ( S P U ) e. E /\ V e. E /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) ) |
31 |
29 24 20 30
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( ( S P U ) ` g ) o. ( V ` g ) ) ) |
32 |
14
|
adantr |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( U P V ) e. E ) |
33 |
4 2
|
tendopl2 |
|- ( ( S e. E /\ ( U P V ) e. E /\ g e. T ) -> ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) ) |
34 |
18 32 20 33
|
syl3anc |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) = ( ( S ` g ) o. ( ( U P V ) ` g ) ) ) |
35 |
28 31 34
|
3eqtr4d |
|- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) /\ g e. T ) -> ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) ) |
36 |
35
|
ralrimiva |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> A. g e. T ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) ) |
37 |
1 2 3
|
tendoeq1 |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( ( ( S P U ) P V ) e. E /\ ( S P ( U P V ) ) e. E ) /\ A. g e. T ( ( ( S P U ) P V ) ` g ) = ( ( S P ( U P V ) ) ` g ) ) -> ( ( S P U ) P V ) = ( S P ( U P V ) ) ) |
38 |
5 12 16 36 37
|
syl121anc |
|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( S e. E /\ U e. E /\ V e. E ) ) -> ( ( S P U ) P V ) = ( S P ( U P V ) ) ) |