Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendopl.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
tendopl.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
tendopl.e |
⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
tendopl.p |
⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) ) |
5 |
|
simpl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
6 |
|
simpr1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑆 ∈ 𝐸 ) |
7 |
|
simpr2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑈 ∈ 𝐸 ) |
8 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ) |
9 |
5 6 7 8
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ) |
10 |
|
simpr3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → 𝑉 ∈ 𝐸 ) |
11 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) |
12 |
5 9 10 11
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) |
13 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) |
14 |
5 7 10 13
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) |
15 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) → ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 ) |
16 |
5 6 14 15
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 ) |
17 |
|
coass |
⊢ ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
18 |
|
simplr1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑆 ∈ 𝐸 ) |
19 |
|
simplr2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 ) |
20 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑔 ∈ 𝑇 ) |
21 |
4 2
|
tendopl2 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ) |
22 |
18 19 20 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ) |
23 |
22
|
coeq1d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
24 |
|
simplr3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 ) |
25 |
4 2
|
tendopl2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
26 |
19 24 20 25
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
27 |
26
|
coeq2d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) ) |
28 |
17 23 27
|
3eqtr4a |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) ) |
29 |
9
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ) |
30 |
4 2
|
tendopl2 |
⊢ ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
31 |
29 24 20 30
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
32 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) |
33 |
4 2
|
tendopl2 |
⊢ ( ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) ) |
34 |
18 32 20 33
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 ‘ 𝑔 ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) ) ) |
35 |
28 31 34
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) ) |
36 |
35
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) ) |
37 |
1 2 3
|
tendoeq1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ∈ 𝐸 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ‘ 𝑔 ) ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ) |
38 |
5 12 16 36 37
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ) → ( ( 𝑆 𝑃 𝑈 ) 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑆 𝑃 ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ) ) |