Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendopl.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
tendopl.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
tendopl.e |
⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
tendopl.p |
⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) ) |
5 |
|
eqid |
⊢ ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 ) |
6 |
|
eqid |
⊢ ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
7 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
8 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
9 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 ) |
10 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑔 ∈ 𝑇 ) |
11 |
1 2 3
|
tendocl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
12 |
8 9 10 11
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
13 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 ) |
14 |
1 2 3
|
tendocl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
15 |
8 13 10 14
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
16 |
1 2
|
ltrnco |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∈ 𝑇 ) |
17 |
8 12 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ∈ 𝑇 ) |
18 |
17
|
fmpttd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ) |
19 |
4 2
|
tendopl |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) ) |
20 |
19
|
3adant1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) ) |
21 |
20
|
feq1d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ↔ ( 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ) ) |
22 |
18 21
|
mpbird |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇 ⟶ 𝑇 ) |
23 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
24 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 ) |
25 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 ) |
26 |
|
3simpc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) ) |
27 |
1 2 3 4
|
tendoplco2 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ( ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( ℎ ∘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) ) |
28 |
23 24 25 26 27
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ∧ 𝑖 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( ℎ ∘ 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) ) |
29 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
30 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 ) |
31 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 ) |
32 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ℎ ∈ 𝑇 ) |
33 |
1 2 3 4 5 6
|
tendopltp |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ℎ ) ) |
34 |
29 30 31 32 33
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ ℎ ∈ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ℎ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ℎ ) ) |
35 |
5 1 2 6 3 7 22 28 34
|
istendod |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) |