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Theorem tendoplcl

Description: Endomorphism sum is a trace-preserving endomorphism. (Contributed by NM, 10-Jun-2013)

Ref Expression
Hypotheses tendopl.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
tendopl.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.e 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
tendopl.p 𝑃 = ( 𝑠𝐸 , 𝑡𝐸 ↦ ( 𝑓𝑇 ↦ ( ( 𝑠𝑓 ) ∘ ( 𝑡𝑓 ) ) ) )
Assertion tendoplcl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 tendopl.h 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
2 tendopl.t 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
3 tendopl.e 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
4 tendopl.p 𝑃 = ( 𝑠𝐸 , 𝑡𝐸 ↦ ( 𝑓𝑇 ↦ ( ( 𝑠𝑓 ) ∘ ( 𝑡𝑓 ) ) ) )
5 eqid ( le ‘ 𝐾 ) = ( le ‘ 𝐾 )
6 eqid ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) = ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 )
7 simp1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
8 simpl1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑔𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
9 simpl2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑔𝑇 ) → 𝑈𝐸 )
10 simpr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑔𝑇 ) → 𝑔𝑇 )
11 1 2 3 tendocl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑔𝑇 ) → ( 𝑈𝑔 ) ∈ 𝑇 )
12 8 9 10 11 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑔𝑇 ) → ( 𝑈𝑔 ) ∈ 𝑇 )
13 simpl3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑔𝑇 ) → 𝑉𝐸 )
14 1 2 3 tendocl ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑉𝐸𝑔𝑇 ) → ( 𝑉𝑔 ) ∈ 𝑇 )
15 8 13 10 14 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑔𝑇 ) → ( 𝑉𝑔 ) ∈ 𝑇 )
16 1 2 ltrnco ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑈𝑔 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉𝑔 ) ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈𝑔 ) ∘ ( 𝑉𝑔 ) ) ∈ 𝑇 )
17 8 12 15 16 syl3anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑔𝑇 ) → ( ( 𝑈𝑔 ) ∘ ( 𝑉𝑔 ) ) ∈ 𝑇 )
18 17 fmpttd ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( 𝑔𝑇 ↦ ( ( 𝑈𝑔 ) ∘ ( 𝑉𝑔 ) ) ) : 𝑇𝑇 )
19 4 2 tendopl ( ( 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔𝑇 ↦ ( ( 𝑈𝑔 ) ∘ ( 𝑉𝑔 ) ) ) )
20 19 3adant1 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑔𝑇 ↦ ( ( 𝑈𝑔 ) ∘ ( 𝑉𝑔 ) ) ) )
21 20 feq1d ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇𝑇 ↔ ( 𝑔𝑇 ↦ ( ( 𝑈𝑔 ) ∘ ( 𝑉𝑔 ) ) ) : 𝑇𝑇 ) )
22 18 21 mpbird ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) : 𝑇𝑇 )
23 simp11 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇𝑖𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
24 simp12 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇𝑖𝑇 ) → 𝑈𝐸 )
25 simp13 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇𝑖𝑇 ) → 𝑉𝐸 )
26 3simpc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇𝑖𝑇 ) → ( 𝑇𝑖𝑇 ) )
27 1 2 3 4 tendoplco2 ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ ( 𝑇𝑖𝑇 ) ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) )
28 23 24 25 26 27 syl121anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇𝑖𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ( 𝑖 ) ) = ( ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ) ∘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑖 ) ) )
29 simpl1 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) )
30 simpl2 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇 ) → 𝑈𝐸 )
31 simpl3 ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇 ) → 𝑉𝐸 )
32 simpr ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇 ) → 𝑇 )
33 1 2 3 4 5 6 tendopltp ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ ( 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ) )
34 29 30 31 32 33 syl121anc ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) ∧ 𝑇 ) → ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ ) ) ( le ‘ 𝐾 ) ( ( ( trL ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) ‘ ) )
35 5 1 2 6 3 7 22 28 34 istendod ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻 ) ∧ 𝑈𝐸𝑉𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 )