Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tendopl.h |
⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
tendopl.t |
⊢ 𝑇 = ( ( LTrn ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
3 |
|
tendopl.e |
⊢ 𝐸 = ( ( TEndo ‘ 𝐾 ) ‘ 𝑊 ) |
4 |
|
tendopl.p |
⊢ 𝑃 = ( 𝑠 ∈ 𝐸 , 𝑡 ∈ 𝐸 ↦ ( 𝑓 ∈ 𝑇 ↦ ( ( 𝑠 ‘ 𝑓 ) ∘ ( 𝑡 ‘ 𝑓 ) ) ) ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
6 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ) |
7 |
1 2 3 4
|
tendoplcl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ) |
8 |
7
|
3com23 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ) |
9 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ) |
10 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑈 ∈ 𝐸 ) |
11 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑔 ∈ 𝑇 ) |
12 |
1 2 3
|
tendocl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
13 |
9 10 11 12
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
14 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → 𝑉 ∈ 𝐸 ) |
15 |
1 2 3
|
tendocl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
16 |
9 14 11 15
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) |
17 |
1 2
|
ltrncom |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ∧ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ) |
18 |
9 13 16 17
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ) |
19 |
4 2
|
tendopl2 |
⊢ ( ( 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
20 |
10 14 11 19
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ) ) |
21 |
4 2
|
tendopl2 |
⊢ ( ( 𝑉 ∈ 𝐸 ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ) |
22 |
14 10 11 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑉 ‘ 𝑔 ) ∘ ( 𝑈 ‘ 𝑔 ) ) ) |
23 |
18 20 22
|
3eqtr4d |
⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) ∧ 𝑔 ∈ 𝑇 ) → ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ) |
24 |
23
|
ralrimiva |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ) |
25 |
1 2 3
|
tendoeq1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ∈ 𝐸 ∧ ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ∈ 𝐸 ) ∧ ∀ 𝑔 ∈ 𝑇 ( ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) ‘ 𝑔 ) = ( ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ‘ 𝑔 ) ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ) |
26 |
5 6 8 24 25
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ 𝑈 ∈ 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ 𝐸 ) → ( 𝑈 𝑃 𝑉 ) = ( 𝑉 𝑃 𝑈 ) ) |