Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
tosso.b |
|- B = ( Base ` K ) |
2 |
|
tosso.l |
|- .<_ = ( le ` K ) |
3 |
|
tosso.s |
|- .< = ( lt ` K ) |
4 |
1 2 3
|
pleval2 |
|- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x .<_ y <-> ( x .< y \/ x = y ) ) ) |
5 |
4
|
3expb |
|- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x .<_ y <-> ( x .< y \/ x = y ) ) ) |
6 |
1 2 3
|
pleval2 |
|- ( ( K e. Poset /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ y = x ) ) ) |
7 |
|
equcom |
|- ( y = x <-> x = y ) |
8 |
7
|
orbi2i |
|- ( ( y .< x \/ y = x ) <-> ( y .< x \/ x = y ) ) |
9 |
6 8
|
bitrdi |
|- ( ( K e. Poset /\ y e. B /\ x e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) ) |
10 |
9
|
3com23 |
|- ( ( K e. Poset /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) ) |
11 |
10
|
3expb |
|- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( y .<_ x <-> ( y .< x \/ x = y ) ) ) |
12 |
5 11
|
orbi12d |
|- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) ) ) |
13 |
|
df-3or |
|- ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) ) |
14 |
|
or32 |
|- ( ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) ) |
15 |
|
orordir |
|- ( ( ( x .< y \/ y .< x ) \/ x = y ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) ) |
16 |
14 15
|
bitri |
|- ( ( ( x .< y \/ x = y ) \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) ) |
17 |
13 16
|
bitri |
|- ( ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) <-> ( ( x .< y \/ x = y ) \/ ( y .< x \/ x = y ) ) ) |
18 |
12 17
|
bitr4di |
|- ( ( K e. Poset /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) |
19 |
18
|
2ralbidva |
|- ( K e. Poset -> ( A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) |
20 |
19
|
pm5.32i |
|- ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) |
21 |
1 2 3
|
pospo |
|- ( K e. V -> ( K e. Poset <-> ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) ) |
22 |
21
|
anbi1d |
|- ( K e. V -> ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) ) |
23 |
20 22
|
syl5bb |
|- ( K e. V -> ( ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) ) |
24 |
1 2
|
istos |
|- ( K e. Toset <-> ( K e. Poset /\ A. x e. B A. y e. B ( x .<_ y \/ y .<_ x ) ) ) |
25 |
|
df-so |
|- ( .< Or B <-> ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) |
26 |
25
|
anbi1i |
|- ( ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) |
27 |
|
an32 |
|- ( ( ( .< Po B /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) |
28 |
26 27
|
bitri |
|- ( ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) <-> ( ( .< Po B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) /\ A. x e. B A. y e. B ( x .< y \/ x = y \/ y .< x ) ) ) |
29 |
23 24 28
|
3bitr4g |
|- ( K e. V -> ( K e. Toset <-> ( .< Or B /\ ( _I |` B ) C_ .<_ ) ) ) |