Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
nfv |
|- F/ w A C_ RR* |
2 |
|
nfra1 |
|- F/ w A. w e. RR E. y e. A y < w |
3 |
1 2
|
nfan |
|- F/ w ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) |
4 |
|
simpll |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> A C_ RR* ) |
5 |
|
simpr |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> w e. RR ) |
6 |
|
rspa |
|- ( ( A. w e. RR E. y e. A y < w /\ w e. RR ) -> E. y e. A y < w ) |
7 |
6
|
adantll |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y < w ) |
8 |
|
ssel2 |
|- ( ( A C_ RR* /\ y e. A ) -> y e. RR* ) |
9 |
8
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> y e. RR* ) |
10 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> w e. RR ) |
11 |
10
|
rexrd |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> w e. RR* ) |
12 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> y < w ) |
13 |
9 11 12
|
xrltled |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y < w ) -> y <_ w ) |
14 |
13
|
ex |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y < w -> y <_ w ) ) |
15 |
14
|
reximdva |
|- ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) -> ( E. y e. A y < w -> E. y e. A y <_ w ) ) |
16 |
15
|
imp |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ E. y e. A y < w ) -> E. y e. A y <_ w ) |
17 |
4 5 7 16
|
syl21anc |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y <_ w ) |
18 |
3 17
|
ralrimia |
|- ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) -> A. w e. RR E. y e. A y <_ w ) |
19 |
|
breq2 |
|- ( w = x -> ( y <_ w <-> y <_ x ) ) |
20 |
19
|
rexbidv |
|- ( w = x -> ( E. y e. A y <_ w <-> E. y e. A y <_ x ) ) |
21 |
20
|
cbvralvw |
|- ( A. w e. RR E. y e. A y <_ w <-> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) |
22 |
18 21
|
sylib |
|- ( ( A C_ RR* /\ A. w e. RR E. y e. A y < w ) -> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) |
23 |
22
|
ex |
|- ( A C_ RR* -> ( A. w e. RR E. y e. A y < w -> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) ) |
24 |
|
simpll |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> A C_ RR* ) |
25 |
|
simpr |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> w e. RR ) |
26 |
|
peano2rem |
|- ( w e. RR -> ( w - 1 ) e. RR ) |
27 |
26
|
adantl |
|- ( ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x /\ w e. RR ) -> ( w - 1 ) e. RR ) |
28 |
|
simpl |
|- ( ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x /\ w e. RR ) -> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) |
29 |
|
breq2 |
|- ( x = ( w - 1 ) -> ( y <_ x <-> y <_ ( w - 1 ) ) ) |
30 |
29
|
rexbidv |
|- ( x = ( w - 1 ) -> ( E. y e. A y <_ x <-> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) ) ) |
31 |
30
|
rspcva |
|- ( ( ( w - 1 ) e. RR /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) -> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) ) |
32 |
27 28 31
|
syl2anc |
|- ( ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x /\ w e. RR ) -> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) ) |
33 |
32
|
adantll |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y <_ ( w - 1 ) ) |
34 |
8
|
ad4ant13 |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> y e. RR* ) |
35 |
|
simpllr |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> w e. RR ) |
36 |
26
|
rexrd |
|- ( w e. RR -> ( w - 1 ) e. RR* ) |
37 |
35 36
|
syl |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> ( w - 1 ) e. RR* ) |
38 |
35
|
rexrd |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> w e. RR* ) |
39 |
|
simpr |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> y <_ ( w - 1 ) ) |
40 |
35
|
ltm1d |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> ( w - 1 ) < w ) |
41 |
34 37 38 39 40
|
xrlelttrd |
|- ( ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) /\ y <_ ( w - 1 ) ) -> y < w ) |
42 |
41
|
ex |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ y e. A ) -> ( y <_ ( w - 1 ) -> y < w ) ) |
43 |
42
|
reximdva |
|- ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) -> ( E. y e. A y <_ ( w - 1 ) -> E. y e. A y < w ) ) |
44 |
43
|
imp |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ w e. RR ) /\ E. y e. A y <_ ( w - 1 ) ) -> E. y e. A y < w ) |
45 |
24 25 33 44
|
syl21anc |
|- ( ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) /\ w e. RR ) -> E. y e. A y < w ) |
46 |
45
|
ralrimiva |
|- ( ( A C_ RR* /\ A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) -> A. w e. RR E. y e. A y < w ) |
47 |
46
|
ex |
|- ( A C_ RR* -> ( A. x e. RR E. y e. A y <_ x -> A. w e. RR E. y e. A y < w ) ) |
48 |
23 47
|
impbid |
|- ( A C_ RR* -> ( A. w e. RR E. y e. A y < w <-> A. x e. RR E. y e. A y <_ x ) ) |