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Theorem unpreima

Description: Preimage of a union. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009)

Ref Expression
Assertion unpreima 
|- ( Fun F -> ( `' F " ( A u. B ) ) = ( ( `' F " A ) u. ( `' F " B ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 funfn 
 |-  ( Fun F <-> F Fn dom F )
2 elpreima 
 |-  ( F Fn dom F -> ( x e. ( `' F " ( A u. B ) ) <-> ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. ( A u. B ) ) ) )
3 elun 
 |-  ( ( F ` x ) e. ( A u. B ) <-> ( ( F ` x ) e. A \/ ( F ` x ) e. B ) )
4 3 anbi2i 
 |-  ( ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. ( A u. B ) ) <-> ( x e. dom F /\ ( ( F ` x ) e. A \/ ( F ` x ) e. B ) ) )
5 andi 
 |-  ( ( x e. dom F /\ ( ( F ` x ) e. A \/ ( F ` x ) e. B ) ) <-> ( ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. A ) \/ ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. B ) ) )
6 4 5 bitri 
 |-  ( ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. ( A u. B ) ) <-> ( ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. A ) \/ ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. B ) ) )
7 elun 
 |-  ( x e. ( ( `' F " A ) u. ( `' F " B ) ) <-> ( x e. ( `' F " A ) \/ x e. ( `' F " B ) ) )
8 elpreima 
 |-  ( F Fn dom F -> ( x e. ( `' F " A ) <-> ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. A ) ) )
9 elpreima 
 |-  ( F Fn dom F -> ( x e. ( `' F " B ) <-> ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. B ) ) )
10 8 9 orbi12d 
 |-  ( F Fn dom F -> ( ( x e. ( `' F " A ) \/ x e. ( `' F " B ) ) <-> ( ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. A ) \/ ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. B ) ) ) )
11 7 10 bitrid 
 |-  ( F Fn dom F -> ( x e. ( ( `' F " A ) u. ( `' F " B ) ) <-> ( ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. A ) \/ ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. B ) ) ) )
12 6 11 bitr4id 
 |-  ( F Fn dom F -> ( ( x e. dom F /\ ( F ` x ) e. ( A u. B ) ) <-> x e. ( ( `' F " A ) u. ( `' F " B ) ) ) )
13 2 12 bitrd 
 |-  ( F Fn dom F -> ( x e. ( `' F " ( A u. B ) ) <-> x e. ( ( `' F " A ) u. ( `' F " B ) ) ) )
14 13 eqrdv 
 |-  ( F Fn dom F -> ( `' F " ( A u. B ) ) = ( ( `' F " A ) u. ( `' F " B ) ) )
15 1 14 sylbi 
 |-  ( Fun F -> ( `' F " ( A u. B ) ) = ( ( `' F " A ) u. ( `' F " B ) ) )