cdlemk24-3

Description: Part of proof of Lemma K of Crawley p. 118. Eliminate the ( Rx ) =/= ( RC ) requirement from cdlemk23-3 using ( RC ) = ( RD ) . (Contributed by NM, 7-Jul-2013)

	Ref	Expression
Hypotheses	cdlemk3.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
	cdlemk3.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
	cdlemk3.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
	cdlemk3.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
	cdlemk3.a	$⊢ A = Atoms (K)$
	cdlemk3.h	$⊢ H = LHyp (K)$
	cdlemk3.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
	cdlemk3.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
	cdlemk3.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
	cdlemk3.u1	$⊢ Y = (d \in T, e \in T ⟼ (ι j \in T \| j (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (e)) \underset{˙}{\land} (S (d) (P) \underset{˙}{\lor} R (e \circ d^{-1}))))$
Assertion	cdlemk24-3	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to (D Y G) (P) = (C Y G) (P)$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemk3.b	$⊢ B = {Base}_{K}$
2		cdlemk3.l	$⊢ \underset{˙}{\leq} = \leq_{K}$
3		cdlemk3.j	$⊢ \underset{˙}{\lor} = join (K)$
4		cdlemk3.m	$⊢ \underset{˙}{\land} = meet (K)$
5		cdlemk3.a	$⊢ A = Atoms (K)$
6		cdlemk3.h	$⊢ H = LHyp (K)$
7		cdlemk3.t	$⊢ T = LTrn (K) (W)$
8		cdlemk3.r	$⊢ R = trL (K) (W)$
9		cdlemk3.s	$⊢ S = (f \in T ⟼ (ι i \in T \| i (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (f)) \underset{˙}{\land} (N (P) \underset{˙}{\lor} R (f \circ F^{-1}))))$
10		cdlemk3.u1	$⊢ Y = (d \in T, e \in T ⟼ (ι j \in T \| j (P) = (P \underset{˙}{\lor} R (e)) \underset{˙}{\land} (S (d) (P) \underset{˙}{\lor} R (e \circ d^{-1}))))$
11		simp31	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to (R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F))$
12		simp32l	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to R (G) \neq R (D)$
13		simp331	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to R (x) \neq R (D)$
14		simp32r	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to R (C) = R (D)$
15	13 14	neeqtrrd	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to R (x) \neq R (C)$
16	12 15	jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to (R (G) \neq R (D) \land R (x) \neq R (C))$
17		simp33	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x))$
18	11 16 17	3jca	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (x) \neq R (C)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))$
19	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	cdlemk23-3	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (x) \neq R (C)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to (D Y G) (P) = (C Y G) (P)$
20	18 19	syld3an3	$⊢ (((K \in HL \land W \in H) \land (F \in T \land D \in T \land N \in T) \land (G \in T \land C \in T \land x \in T)) \land ((P \in A \land \neg P \underset{˙}{\leq} W) \land (R (F) = R (N) \land F \neq {I ↾}_{B} \land D \neq {I ↾}_{B}) \land (G \neq {I ↾}_{B} \land C \neq {I ↾}_{B} \land x \neq {I ↾}_{B})) \land ((R (G) \neq R (C) \land R (C) \neq R (F) \land R (D) \neq R (F)) \land (R (G) \neq R (D) \land R (C) = R (D)) \land (R (x) \neq R (D) \land R (x) \neq R (F) \land R (G) \neq R (x)))) \to (D Y G) (P) = (C Y G) (P)$

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Theorem cdlemk24-3

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