Theorem f1eq1

Description: Equality theorem for one-to-one functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997)

	Ref	Expression
Assertion	f1eq1	$$⊢F=G\to \left(F:A\underset{1-1}{⟶}B\leftrightarrow G:A\underset{1-1}{⟶}B\right)$$

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feq1	$$⊢F=G\to \left(F:A⟶B\leftrightarrow G:A⟶B\right)$$
2		cnveq	$$⊢F=G\to F^{-1}=G^{-1}$$
3	2	funeqd	$$⊢F=G\to \left(\mathrm{Fun}{F}^{-1}\leftrightarrow \mathrm{Fun}{G}^{-1}\right)$$
4	1 3	anbi12d	$$⊢F=G\to \left(\left(F:A⟶B\wedge \mathrm{Fun}{F}^{-1}\right)\leftrightarrow \left(G:A⟶B\wedge \mathrm{Fun}{G}^{-1}\right)\right)$$
5		df-f1	$$⊢F:A\underset{1-1}{⟶}B\leftrightarrow \left(F:A⟶B\wedge \mathrm{Fun}{F}^{-1}\right)$$
6		df-f1	$$⊢G:A\underset{1-1}{⟶}B\leftrightarrow \left(G:A⟶B\wedge \mathrm{Fun}{G}^{-1}\right)$$
7	4 5 6	3bitr4g	$$⊢F=G\to \left(F:A\underset{1-1}{⟶}B\leftrightarrow G:A\underset{1-1}{⟶}B\right)$$