Metamath Proof Explorer


Theorem fzto1st1

Description: Special case where the permutation defined in psgnfzto1st is the identity. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Aug-2020)

Ref Expression
Hypotheses psgnfzto1st.d D = 1 N
psgnfzto1st.p P = i D if i = 1 I if i I i 1 i
Assertion fzto1st1 I = 1 P = I D

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 psgnfzto1st.d D = 1 N
2 psgnfzto1st.p P = i D if i = 1 I if i I i 1 i
3 simpll I = 1 i D i = 1 I = 1
4 simpr I = 1 i D i = 1 i = 1
5 3 4 eqtr4d I = 1 i D i = 1 I = i
6 simpr I = 1 i D ¬ i = 1 i I i I
7 simplll I = 1 i D ¬ i = 1 i I I = 1
8 6 7 breqtrd I = 1 i D ¬ i = 1 i I i 1
9 simpllr I = 1 i D ¬ i = 1 i I i D
10 9 1 eleqtrdi I = 1 i D ¬ i = 1 i I i 1 N
11 elfzle1 i 1 N 1 i
12 10 11 syl I = 1 i D ¬ i = 1 i I 1 i
13 fz1ssnn 1 N
14 13 10 sselid I = 1 i D ¬ i = 1 i I i
15 14 nnred I = 1 i D ¬ i = 1 i I i
16 1red I = 1 i D ¬ i = 1 i I 1
17 15 16 letri3d I = 1 i D ¬ i = 1 i I i = 1 i 1 1 i
18 8 12 17 mpbir2and I = 1 i D ¬ i = 1 i I i = 1
19 simplr I = 1 i D ¬ i = 1 i I ¬ i = 1
20 18 19 pm2.21dd I = 1 i D ¬ i = 1 i I i 1 = i
21 eqidd I = 1 i D ¬ i = 1 ¬ i I i = i
22 20 21 ifeqda I = 1 i D ¬ i = 1 if i I i 1 i = i
23 5 22 ifeqda I = 1 i D if i = 1 I if i I i 1 i = i
24 23 mpteq2dva I = 1 i D if i = 1 I if i I i 1 i = i D i
25 mptresid I D = i D i
26 24 2 25 3eqtr4g I = 1 P = I D