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Theorem ispautN

Description: The predictate "is a projective automorphism." (Contributed by NM, 26-Jan-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses pautset.s S = PSubSp K
pautset.m M = PAut K
Assertion ispautN K B F M F : S 1-1 onto S x S y S x y F x F y

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 pautset.s S = PSubSp K
2 pautset.m M = PAut K
3 1 2 pautsetN K B M = f | f : S 1-1 onto S x S y S x y f x f y
4 3 eleq2d K B F M F f | f : S 1-1 onto S x S y S x y f x f y
5 f1of F : S 1-1 onto S F : S S
6 1 fvexi S V
7 fex F : S S S V F V
8 5 6 7 sylancl F : S 1-1 onto S F V
9 8 adantr F : S 1-1 onto S x S y S x y F x F y F V
10 f1oeq1 f = F f : S 1-1 onto S F : S 1-1 onto S
11 fveq1 f = F f x = F x
12 fveq1 f = F f y = F y
13 11 12 sseq12d f = F f x f y F x F y
14 13 bibi2d f = F x y f x f y x y F x F y
15 14 2ralbidv f = F x S y S x y f x f y x S y S x y F x F y
16 10 15 anbi12d f = F f : S 1-1 onto S x S y S x y f x f y F : S 1-1 onto S x S y S x y F x F y
17 9 16 elab3 F f | f : S 1-1 onto S x S y S x y f x f y F : S 1-1 onto S x S y S x y F x F y
18 4 17 bitrdi K B F M F : S 1-1 onto S x S y S x y F x F y