Metamath Proof Explorer


Theorem lcdvadd

Description: Vector addition for the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 10-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses lcdvadd.h H = LHyp K
lcdvadd.u U = DVecH K W
lcdvadd.d D = LDual U
lcdvadd.a + ˙ = + D
lcdvadd.c C = LCDual K W
lcdvadd.p ˙ = + C
lcdvadd.k φ K HL W H
Assertion lcdvadd φ ˙ = + ˙

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 lcdvadd.h H = LHyp K
2 lcdvadd.u U = DVecH K W
3 lcdvadd.d D = LDual U
4 lcdvadd.a + ˙ = + D
5 lcdvadd.c C = LCDual K W
6 lcdvadd.p ˙ = + C
7 lcdvadd.k φ K HL W H
8 eqid ocH K W = ocH K W
9 eqid LFnl U = LFnl U
10 eqid LKer U = LKer U
11 1 8 5 2 9 10 3 7 lcdval φ C = D 𝑠 f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f
12 11 fveq2d φ + C = + D 𝑠 f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f
13 fvex LFnl U V
14 13 rabex f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f V
15 eqid D 𝑠 f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f = D 𝑠 f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f
16 15 4 ressplusg f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f V + ˙ = + D 𝑠 f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f
17 14 16 ax-mp + ˙ = + D 𝑠 f LFnl U | ocH K W ocH K W LKer U f = LKer U f
18 12 6 17 3eqtr4g φ ˙ = + ˙