Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
elvv |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( V × V ) ↔ ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑣 〉 ) |
2 |
|
fveq2 |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑣 〉 → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 〈 𝑤 , 𝑣 〉 ) ) |
3 |
|
df-ov |
⊢ ( 𝑤 { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } 𝑣 ) = ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 〈 𝑤 , 𝑣 〉 ) |
4 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝑥 = 𝑤 ∧ 𝑦 = 𝑣 ) → 𝑦 = 𝑣 ) |
5 |
|
mpov |
⊢ ( 𝑥 ∈ V , 𝑦 ∈ V ↦ 𝑦 ) = { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } |
6 |
5
|
eqcomi |
⊢ { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } = ( 𝑥 ∈ V , 𝑦 ∈ V ↦ 𝑦 ) |
7 |
|
vex |
⊢ 𝑣 ∈ V |
8 |
4 6 7
|
ovmpoa |
⊢ ( ( 𝑤 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ V ) → ( 𝑤 { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } 𝑣 ) = 𝑣 ) |
9 |
8
|
el2v |
⊢ ( 𝑤 { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } 𝑣 ) = 𝑣 |
10 |
3 9
|
eqtr3i |
⊢ ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 〈 𝑤 , 𝑣 〉 ) = 𝑣 |
11 |
2 10
|
eqtrdi |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑣 〉 → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = 𝑣 ) |
12 |
|
vex |
⊢ 𝑤 ∈ V |
13 |
12 7
|
op2ndd |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑣 〉 → ( 2nd ‘ 𝐴 ) = 𝑣 ) |
14 |
11 13
|
eqtr4d |
⊢ ( 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑣 〉 → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ( 2nd ‘ 𝐴 ) ) |
15 |
14
|
exlimivv |
⊢ ( ∃ 𝑤 ∃ 𝑣 𝐴 = 〈 𝑤 , 𝑣 〉 → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ( 2nd ‘ 𝐴 ) ) |
16 |
1 15
|
sylbi |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( V × V ) → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ( 2nd ‘ 𝐴 ) ) |
17 |
|
vex |
⊢ 𝑥 ∈ V |
18 |
|
vex |
⊢ 𝑦 ∈ V |
19 |
17 18
|
pm3.2i |
⊢ ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ) |
20 |
|
ax6ev |
⊢ ∃ 𝑧 𝑧 = 𝑦 |
21 |
19 20
|
2th |
⊢ ( ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ) ↔ ∃ 𝑧 𝑧 = 𝑦 ) |
22 |
21
|
opabbii |
⊢ { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ) } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑧 𝑧 = 𝑦 } |
23 |
|
df-xp |
⊢ ( V × V ) = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ( 𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V ) } |
24 |
|
dmoprab |
⊢ dom { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } = { 〈 𝑥 , 𝑦 〉 ∣ ∃ 𝑧 𝑧 = 𝑦 } |
25 |
22 23 24
|
3eqtr4ri |
⊢ dom { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } = ( V × V ) |
26 |
25
|
eleq2i |
⊢ ( 𝐴 ∈ dom { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ↔ 𝐴 ∈ ( V × V ) ) |
27 |
|
ndmfv |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ dom { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ∅ ) |
28 |
26 27
|
sylnbir |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ ( V × V ) → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ∅ ) |
29 |
|
rnsnn0 |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( V × V ) ↔ ran { 𝐴 } ≠ ∅ ) |
30 |
29
|
biimpri |
⊢ ( ran { 𝐴 } ≠ ∅ → 𝐴 ∈ ( V × V ) ) |
31 |
30
|
necon1bi |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ ( V × V ) → ran { 𝐴 } = ∅ ) |
32 |
31
|
unieqd |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ ( V × V ) → ∪ ran { 𝐴 } = ∪ ∅ ) |
33 |
|
uni0 |
⊢ ∪ ∅ = ∅ |
34 |
32 33
|
eqtrdi |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ ( V × V ) → ∪ ran { 𝐴 } = ∅ ) |
35 |
28 34
|
eqtr4d |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ ( V × V ) → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ∪ ran { 𝐴 } ) |
36 |
|
2ndval |
⊢ ( 2nd ‘ 𝐴 ) = ∪ ran { 𝐴 } |
37 |
35 36
|
eqtr4di |
⊢ ( ¬ 𝐴 ∈ ( V × V ) → ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ( 2nd ‘ 𝐴 ) ) |
38 |
16 37
|
pm2.61i |
⊢ ( { 〈 〈 𝑥 , 𝑦 〉 , 𝑧 〉 ∣ 𝑧 = 𝑦 } ‘ 𝐴 ) = ( 2nd ‘ 𝐴 ) |