Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
3dim0.j |
⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 ) |
2 |
|
3dim0.l |
⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 ) |
3 |
|
3dim0.a |
⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 ) |
4 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) |
5 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL ) |
6 |
5
|
hllatd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝐾 ∈ Lat ) |
7 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ 𝐴 ) |
8 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝐾 ) = ( Base ‘ 𝐾 ) |
9 |
8 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
10 |
7 9
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
11 |
|
simp2l |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ 𝐴 ) |
12 |
8 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
13 |
11 12
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
14 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 ) |
15 |
8 3
|
atbase |
⊢ ( 𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
16 |
14 15
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
17 |
8 1
|
latjrot |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Lat ∧ ( 𝑄 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑅 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ∧ 𝑃 ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
18 |
6 10 13 16 17
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |
19 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) |
20 |
|
simp2r |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 ) |
21 |
8 1 3
|
hlatjcl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
22 |
5 7 11 21
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) |
23 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) |
24 |
8 2 1 3
|
hlexchb1 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∈ ( Base ‘ 𝐾 ) ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ) → ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) |
25 |
5 14 20 22 23 24
|
syl131anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ↔ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) |
26 |
19 25
|
mpbid |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑃 ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) |
27 |
18 26
|
eqtr3d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) = ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) |
28 |
27
|
breq2d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ( 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ↔ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) |
29 |
4 28
|
mtbird |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ∧ ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∧ 𝑃 ≤ ( ( 𝑄 ∨ 𝑅 ) ∨ 𝑆 ) ) ) → ¬ 𝑇 ≤ ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∨ 𝑅 ) ) |