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Theorem btwnconn1lem14

Description: Lemma for btwnconn1 . Final statement of the theorem when B =/= C . (Contributed by Scott Fenton, 9-Oct-2013)

Ref Expression
Assertion btwnconn1lem14 ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 simp1 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
2 simp2l ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
3 simp3r ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
4 simp3 ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
5 axsegcon ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) )
6 1 2 3 4 5 syl121anc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) )
7 simp3l ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
8 axsegcon ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) )
9 1 2 7 4 8 syl121anc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) )
10 reeanv ⊢ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ↔ ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) )
11 6 9 10 sylanbrc ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) )
12 11 adantr ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ) → ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) )
13 simpl1 ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ )
14 simpl2l ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
15 simprl ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
16 simpl3l ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
17 simpl2r ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
18 axsegcon ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) )
19 13 14 15 16 17 18 syl122anc ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) )
20 simprr ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
21 simpl3r ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
22 axsegcon ⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) )
23 13 14 20 21 17 22 syl122anc ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) )
24 19 23 jca ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) )
25 24 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) )
26 reeanv ⊢ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ↔ ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) )
27 25 26 sylibr ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) )
28 13 14 17 3jca ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
29 28 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
30 16 21 15 3jca ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
31 30 adantr ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
32 simplrr ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
33 simprl ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
34 simprr ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) )
35 32 33 34 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
36 29 31 35 3jca ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) )
37 simpll ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) )
38 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) )
39 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) )
40 37 38 39 3jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) )
41 btwnconn1lem2 ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑏 )
42 36 40 41 syl2an ⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) → 𝑥 = 𝑏 )
43 opeq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ = ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ )
44 43 breq2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ↔ 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ) )
45 opeq2 ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ = ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ )
46 45 breq1d ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ↔ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) )
47 44 46 anbi12d ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ↔ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) )
48 47 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ↔ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) )
49 48 anbi2d ⊢ ( 𝑥 = 𝑏 → ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ↔ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) )
50 49 biimpac ⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑏 ) → ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) )
51 32 33 jca ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) )
52 29 31 51 jca32 ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) )
53 simpll ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) )
54 simplr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) )
55 simpr ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) )
56 53 54 55 3jca ⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) )
57 btwnconn1lem13 ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) )
58 52 56 57 syl2an ⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) )
59 58 ex ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) ) )
60 50 59 syl5 ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ∧ 𝑥 = 𝑏 ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) ) )
61 60 expdimp ⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝑥 = 𝑏 → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) ) )
62 42 61 mpd ⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) )
63 62 an4s ⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) ∧ ( ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) )
64 63 exp32 ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( ( 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) ) ) )
65 64 rexlimdvv ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( ∃ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑥 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝑐 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑏 ⟩ ∧ ⟨ 𝑐 , 𝑏 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐵 ⟩ ) ∧ ( 𝑑 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑥 ⟩ ∧ ⟨ 𝑑 , 𝑥 ⟩ Cgr ⟨ 𝐷 , 𝐵 ⟩ ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) ) )
66 27 65 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) )
67 orcom ⊢ ( ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) ↔ ( 𝐷 = 𝑑 ∨ 𝐶 = 𝑐 ) )
68 simprrl ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) → 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ )
69 68 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ )
70 opeq2 ⊢ ( 𝐷 = 𝑑 → ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ = ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ )
71 70 breq2d ⊢ ( 𝐷 = 𝑑 → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ↔ 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ) )
72 69 71 syl5ibrcom ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐷 = 𝑑 → 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) )
73 simprll ⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) → 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ )
74 73 adantl ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ )
75 opeq2 ⊢ ( 𝐶 = 𝑐 → ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ = ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ )
76 75 breq2d ⊢ ( 𝐶 = 𝑐 → ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ↔ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ) )
77 74 76 syl5ibrcom ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 → 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
78 72 77 orim12d ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( ( 𝐷 = 𝑑 ∨ 𝐶 = 𝑐 ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) )
79 67 78 biimtrid ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) )
80 66 79 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
81 80 an4s ⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ∧ ( ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )
82 81 exp32 ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ) → ( ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) ) )
83 82 rexlimdvv ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ) → ( ∃ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑐 ⟩ ∧ ⟨ 𝐷 , 𝑐 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ∧ ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝑑 ⟩ ∧ ⟨ 𝐶 , 𝑑 ⟩ Cgr ⟨ 𝐶 , 𝐷 ⟩ ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) ) )
84 12 83 mpd ⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ∧ 𝐵 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ) ) ) → ( 𝐶 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐷 ⟩ ∨ 𝐷 Btwn ⟨ 𝐴 , 𝐶 ⟩ ) )