Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
df-ne |
⊢ ( 𝐶 ≠ 𝑐 ↔ ¬ 𝐶 = 𝑐 ) |
2 |
|
simp2rl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ) |
3 |
2
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ) |
4 |
|
simp2ll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) |
5 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) |
6 |
3 5
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) ) |
7 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
8 |
|
simprl1 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
9 |
|
simpl2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
10 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
11 |
|
btwncom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ↔ 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝐴 〉 ) ) |
12 |
7 8 9 10 11
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ↔ 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝐴 〉 ) ) |
13 |
|
simprl2 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
14 |
|
simprl3 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
15 |
|
btwncom |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ↔ 𝐷 Btwn 〈 𝑐 , 𝐴 〉 ) ) |
16 |
7 13 9 14 15
|
syl13anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ↔ 𝐷 Btwn 〈 𝑐 , 𝐴 〉 ) ) |
17 |
12 16
|
anbi12d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) ↔ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝐴 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝑐 , 𝐴 〉 ) ) ) |
18 |
6 17
|
syl5ib |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝐴 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝑐 , 𝐴 〉 ) ) ) |
19 |
|
axpasch |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝐴 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝑐 , 𝐴 〉 ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) |
20 |
7 10 14 9 8 13 19
|
syl132anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝐴 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝑐 , 𝐴 〉 ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) |
21 |
18 20
|
syld |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) |
22 |
21
|
imp |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ) → ∃ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) |
23 |
|
simpll1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
24 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
25 |
8
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
26 |
10
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
27 |
|
axsegcon |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ) |
28 |
23 24 25 25 26 27
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ) |
29 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
30 |
|
axsegcon |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) |
31 |
23 26 25 25 29 30
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) |
32 |
|
reeanv |
⊢ ( ∃ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ↔ ( ∃ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ∃ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) |
33 |
28 31 32
|
sylanbrc |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) |
34 |
33
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) → ∃ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) |
35 |
7
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
36 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
37 |
|
simprr |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
38 |
|
axsegcon |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) |
39 |
35 36 37 37 36 38
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) |
40 |
39
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ) → ∃ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) |
41 |
|
simp-4l |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
42 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
43 |
42
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
44 |
10
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
45 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
46 |
45
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
47 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
48 |
44 46 47
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
49 |
43 48
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
50 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
51 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
52 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
53 |
50 51 52
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) |
54 |
41 49 53
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) |
55 |
|
simp1ll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
56 |
55
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
57 |
56
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
58 |
|
simp1lr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
59 |
58
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
60 |
59
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → 𝐵 ≠ 𝐶 ) |
61 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) → 𝐶 ≠ 𝑐 ) |
62 |
61
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → 𝐶 ≠ 𝑐 ) |
63 |
57 60 62
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ) |
64 |
|
simpl1r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) |
65 |
64
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) |
66 |
63 65
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ) |
67 |
|
simpll2 |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) → ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ) |
68 |
67
|
ad2antrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ) |
69 |
|
simpl3l |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) |
70 |
69
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ) |
71 |
|
simpl3r |
⊢ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) → ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) |
72 |
71
|
ad3antrrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) |
73 |
70 72
|
jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) |
74 |
66 68 73
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) |
75 |
|
simpllr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) |
76 |
|
simplrl |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ) |
77 |
|
simplrr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) |
78 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) |
79 |
76 77 78
|
3jca |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) ) |
80 |
74 75 79
|
jca32 |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) → ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) ) ) ) |
81 |
|
btwnconn1lem12 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ ( ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) ) ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
82 |
54 80 81
|
syl2an |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
83 |
82
|
an4s |
⊢ ( ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ) ∧ ( 𝑞 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ ( 𝑟 Btwn 〈 𝑝 , 𝑞 〉 ∧ 〈 𝑟 , 𝑞 〉 Cgr 〈 𝑟 , 𝑝 〉 ) ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
84 |
40 83
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
85 |
84
|
an4s |
⊢ ( ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) ∧ ( ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
86 |
85
|
exp32 |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) → ( ( 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) → ( ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) ) ) |
87 |
86
|
rexlimdvv |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) → ( ∃ 𝑝 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∃ 𝑟 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝑐 , 𝑝 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑝 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑑 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝑑 , 𝑟 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑟 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝑒 〉 ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) ) |
88 |
34 87
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
89 |
88
|
an4s |
⊢ ( ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ) ∧ ( 𝑒 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ ( 𝑒 Btwn 〈 𝐶 , 𝑐 〉 ∧ 𝑒 Btwn 〈 𝐷 , 𝑑 〉 ) ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
90 |
22 89
|
rexlimddv |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ∧ 𝐶 ≠ 𝑐 ) ) → 𝐷 = 𝑑 ) |
91 |
90
|
expr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( 𝐶 ≠ 𝑐 → 𝐷 = 𝑑 ) ) |
92 |
1 91
|
syl5bir |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( ¬ 𝐶 = 𝑐 → 𝐷 = 𝑑 ) ) |
93 |
92
|
orrd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( 𝐶 = 𝑐 ∨ 𝐷 = 𝑑 ) ) |