Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp1ll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
2 |
1
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐴 ≠ 𝐵 ) |
3 |
|
simp11 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑁 ∈ ℕ ) |
4 |
|
simp12 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
5 |
|
simp13 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
6 |
|
simp21 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
7 |
|
simp33 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
8 |
|
simp1rl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ) |
9 |
8
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ) |
10 |
|
simp2rl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ) |
11 |
|
simp3rl |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) |
12 |
10 11
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) ) |
13 |
12
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) ) |
14 |
|
simp31 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
15 |
|
btwnexch |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) ) |
16 |
3 4 6 14 7 15
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) ) |
17 |
16
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) ) |
18 |
13 17
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) |
19 |
3 4 5 6 7 9 18
|
btwnexchand |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ) |
20 |
3 5 7
|
cgrrflx2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 〈 𝐵 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) |
21 |
20
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 〈 𝐵 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) |
22 |
19 21
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ) |
23 |
|
simp23 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
24 |
|
simp32 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
25 |
|
simp1rr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) |
26 |
|
simp2ll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) |
27 |
25 26
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) ) |
28 |
27
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) ) |
29 |
|
simp22 |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) |
30 |
|
btwnexch |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) ) |
31 |
3 4 5 29 23 30
|
syl122anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) ) |
32 |
31
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ∧ 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) ) |
33 |
28 32
|
mpd |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ) |
34 |
|
simp3ll |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ) |
35 |
34
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ) |
36 |
3 4 5 23 24 33 35
|
btwnexchand |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ) |
37 |
3 4 5 23 24 33 35
|
btwnexch3and |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝑐 Btwn 〈 𝐵 , 𝑏 〉 ) |
38 |
3 4 5 6 7 9 18
|
btwnexch3and |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐶 Btwn 〈 𝐵 , 𝑋 〉 ) |
39 |
3 6 5 7 38
|
btwncomand |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝐶 Btwn 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) |
40 |
|
btwnconn1lem1 |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 〈 𝐵 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐶 〉 ) |
41 |
|
simp3lr |
⊢ ( ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) → 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) |
42 |
41
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) |
43 |
3 5 23 24 7 6 5 37 39 40 42
|
cgrextendand |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 〈 𝐵 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) |
44 |
36 43
|
jca |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ) |
45 |
|
segconeq |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ ( 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ) → 𝑋 = 𝑏 ) ) |
46 |
3 5 7 5 4 7 24 45
|
syl133anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ) → 𝑋 = 𝑏 ) ) |
47 |
46
|
adantr |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝐵 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝑋 , 𝐵 〉 ) ) → 𝑋 = 𝑏 ) ) |
48 |
2 22 44 47
|
mp3and |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐵 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝐶 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝐷 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑐 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑑 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑏 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ∧ 𝑋 ∈ ( 𝔼 ‘ 𝑁 ) ) ) ∧ ( ( ( 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ) ∧ ( 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐶 〉 ∧ 𝐵 Btwn 〈 𝐴 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝐷 Btwn 〈 𝐴 , 𝑐 〉 ∧ 〈 𝐷 , 𝑐 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ∧ ( 𝐶 Btwn 〈 𝐴 , 𝑑 〉 ∧ 〈 𝐶 , 𝑑 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐷 〉 ) ) ∧ ( ( 𝑐 Btwn 〈 𝐴 , 𝑏 〉 ∧ 〈 𝑐 , 𝑏 〉 Cgr 〈 𝐶 , 𝐵 〉 ) ∧ ( 𝑑 Btwn 〈 𝐴 , 𝑋 〉 ∧ 〈 𝑑 , 𝑋 〉 Cgr 〈 𝐷 , 𝐵 〉 ) ) ) ) → 𝑋 = 𝑏 ) |