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Theorem cdleme11dN

Description: Part of proof of Lemma E in Crawley p. 113. Lemma leading to cdleme11 . (Contributed by NM, 13-Jun-2012) (New usage is discouraged.)

Ref Expression
Hypotheses cdleme11.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
cdleme11.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
cdleme11.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
cdleme11.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
cdleme11.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
cdleme11.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
Assertion cdleme11dN ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 cdleme11.l ⊢ ≤ = ( le ‘ 𝐾 )
2 cdleme11.j ⊢ ∨ = ( join ‘ 𝐾 )
3 cdleme11.m ⊢ ∧ = ( meet ‘ 𝐾 )
4 cdleme11.a ⊢ 𝐴 = ( Atoms ‘ 𝐾 )
5 cdleme11.h ⊢ 𝐻 = ( LHyp ‘ 𝐾 )
6 cdleme11.u ⊢ 𝑈 = ( ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑊 )
7 simp1 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) )
8 simp2 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) )
9 simp32 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) )
10 simp33 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
11 1 2 3 4 5 6 cdleme11c ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
12 7 8 9 10 11 syl112anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) )
13 simp11l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝐾 ∈ HL )
14 simp12l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑃 ∈ 𝐴 )
15 simp21l ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ∈ 𝐴 )
16 1 2 4 hlatlej2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
17 13 14 15 16 syl3anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) )
18 breq2 ⊢ ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ↔ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) ) )
19 17 18 syl5ibcom ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) → 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) ) )
20 simp22 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑇 ∈ 𝐴 )
21 simp31 ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → 𝑆 ≠ 𝑇 )
22 1 2 4 hlatexch2 ⊢ ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ) ∧ 𝑆 ≠ 𝑇 ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
23 13 15 14 20 21 22 syl131anc ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
24 19 23 syld ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) = ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) → 𝑃 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) )
25 24 necon3bd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( ¬ 𝑃 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) ) )
26 12 25 mpd ⊢ ( ( ( ( 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻 ) ∧ ( 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ) ∧ ( ( 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑆 ≤ 𝑊 ) ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄 ) ∧ ( 𝑆 ≠ 𝑇 ∧ ¬ 𝑆 ≤ ( 𝑃 ∨ 𝑄 ) ∧ 𝑈 ≤ ( 𝑆 ∨ 𝑇 ) ) ) → ( 𝑃 ∨ 𝑆 ) ≠ ( 𝑃 ∨ 𝑇 ) )