Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
chmatcl.a |
⊢ 𝐴 = ( 𝑁 Mat 𝑅 ) |
2 |
|
chmatcl.b |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝐴 ) |
3 |
|
chmatcl.p |
⊢ 𝑃 = ( Poly1 ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
chmatcl.y |
⊢ 𝑌 = ( 𝑁 Mat 𝑃 ) |
5 |
|
chmatcl.x |
⊢ 𝑋 = ( var1 ‘ 𝑅 ) |
6 |
|
chmatcl.t |
⊢ 𝑇 = ( 𝑁 matToPolyMat 𝑅 ) |
7 |
|
chmatcl.s |
⊢ − = ( -g ‘ 𝑌 ) |
8 |
|
chmatcl.m |
⊢ · = ( ·𝑠 ‘ 𝑌 ) |
9 |
|
chmatcl.1 |
⊢ 1 = ( 1r ‘ 𝑌 ) |
10 |
|
chmatcl.h |
⊢ 𝐻 = ( ( 𝑋 · 1 ) − ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ) |
11 |
|
chmatval.s |
⊢ ∼ = ( -g ‘ 𝑃 ) |
12 |
|
chmatval.0 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑃 ) |
13 |
10
|
oveqi |
⊢ ( 𝐼 𝐻 𝐽 ) = ( 𝐼 ( ( 𝑋 · 1 ) − ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ) 𝐽 ) |
14 |
3
|
ply1ring |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring ) |
15 |
14
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑃 ∈ Ring ) |
16 |
15
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝑃 ∈ Ring ) |
17 |
14
|
anim2i |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ) ) |
18 |
17
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ) ) |
19 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑃 ) = ( Base ‘ 𝑃 ) |
20 |
5 3 19
|
vr1cl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
21 |
20
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
22 |
3 4
|
pmatring |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑌 ∈ Ring ) |
23 |
22
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 𝑌 ∈ Ring ) |
24 |
|
eqid |
⊢ ( Base ‘ 𝑌 ) = ( Base ‘ 𝑌 ) |
25 |
24 9
|
ringidcl |
⊢ ( 𝑌 ∈ Ring → 1 ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
26 |
23 25
|
syl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → 1 ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
27 |
19 4 24 8
|
matvscl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ) ∧ ( 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ∧ 1 ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) ) → ( 𝑋 · 1 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
28 |
18 21 26 27
|
syl12anc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑋 · 1 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
29 |
28
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 · 1 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
30 |
6 1 2 3 4
|
mat2pmatbas |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
31 |
30
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) |
32 |
|
simpr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) |
33 |
4 24 7 11
|
matsubgcell |
⊢ ( ( 𝑃 ∈ Ring ∧ ( ( 𝑋 · 1 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ∧ ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ∈ ( Base ‘ 𝑌 ) ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( ( 𝑋 · 1 ) − ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ) 𝐽 ) = ( ( 𝐼 ( 𝑋 · 1 ) 𝐽 ) ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) ) |
34 |
16 29 31 32 33
|
syl121anc |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( ( 𝑋 · 1 ) − ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) ) 𝐽 ) = ( ( 𝐼 ( 𝑋 · 1 ) 𝐽 ) ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) ) |
35 |
13 34
|
eqtrid |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 𝐻 𝐽 ) = ( ( 𝐼 ( 𝑋 · 1 ) 𝐽 ) ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) ) |
36 |
9
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 1 = ( 1r ‘ 𝑌 ) ) |
37 |
36
|
oveq2d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 · 1 ) = ( 𝑋 · ( 1r ‘ 𝑌 ) ) ) |
38 |
|
simpl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑁 ∈ Fin ) |
39 |
14
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑃 ∈ Ring ) |
40 |
20
|
adantl |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) |
41 |
38 39 40
|
3jca |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) ) |
42 |
41
|
3adant3 |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) ) |
43 |
42
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) ) |
44 |
4 19 8 12
|
matsc |
⊢ ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ ( Base ‘ 𝑃 ) ) → ( 𝑋 · ( 1r ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝑋 , 0 ) ) ) |
45 |
43 44
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 · ( 1r ‘ 𝑌 ) ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝑋 , 0 ) ) ) |
46 |
37 45
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝑋 · 1 ) = ( 𝑖 ∈ 𝑁 , 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝑋 , 0 ) ) ) |
47 |
|
eqeq12 |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) → ( 𝑖 = 𝑗 ↔ 𝐼 = 𝐽 ) ) |
48 |
47
|
ifbid |
⊢ ( ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) → if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝑋 , 0 ) = if ( 𝐼 = 𝐽 , 𝑋 , 0 ) ) |
49 |
48
|
adantl |
⊢ ( ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) ∧ ( 𝑖 = 𝐼 ∧ 𝑗 = 𝐽 ) ) → if ( 𝑖 = 𝑗 , 𝑋 , 0 ) = if ( 𝐼 = 𝐽 , 𝑋 , 0 ) ) |
50 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝐼 ∈ 𝑁 ) |
51 |
|
simpr |
⊢ ( ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) → 𝐽 ∈ 𝑁 ) |
52 |
51
|
adantl |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → 𝐽 ∈ 𝑁 ) |
53 |
5
|
fvexi |
⊢ 𝑋 ∈ V |
54 |
12
|
fvexi |
⊢ 0 ∈ V |
55 |
53 54
|
ifex |
⊢ if ( 𝐼 = 𝐽 , 𝑋 , 0 ) ∈ V |
56 |
55
|
a1i |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → if ( 𝐼 = 𝐽 , 𝑋 , 0 ) ∈ V ) |
57 |
46 49 50 52 56
|
ovmpod |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 ( 𝑋 · 1 ) 𝐽 ) = if ( 𝐼 = 𝐽 , 𝑋 , 0 ) ) |
58 |
57
|
oveq1d |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐼 ( 𝑋 · 1 ) 𝐽 ) ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) = ( if ( 𝐼 = 𝐽 , 𝑋 , 0 ) ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) ) |
59 |
|
ovif |
⊢ ( if ( 𝐼 = 𝐽 , 𝑋 , 0 ) ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) = if ( 𝐼 = 𝐽 , ( 𝑋 ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) , ( 0 ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) ) |
60 |
58 59
|
eqtrdi |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( ( 𝐼 ( 𝑋 · 1 ) 𝐽 ) ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) = if ( 𝐼 = 𝐽 , ( 𝑋 ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) , ( 0 ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) ) ) |
61 |
35 60
|
eqtrd |
⊢ ( ( ( 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ) ∧ ( 𝐼 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ) ) → ( 𝐼 𝐻 𝐽 ) = if ( 𝐼 = 𝐽 , ( 𝑋 ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) , ( 0 ∼ ( 𝐼 ( 𝑇 ‘ 𝑀 ) 𝐽 ) ) ) ) |