Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ) |
2 |
|
eqid |
⊢ ∪ 𝐽 = ∪ 𝐽 |
3 |
2
|
fclsfil |
⊢ ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) → 𝐿 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
4 |
3
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝐿 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
5 |
|
fclsfnflim |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) |
6 |
4 5
|
syl |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ↔ ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) |
7 |
1 6
|
mpbid |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) → ∃ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) |
8 |
|
simpl1 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ Top ) |
9 |
|
toptopon2 |
⊢ ( 𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐾 ) ) |
10 |
8 9
|
sylib |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐾 ) ) |
11 |
|
simprl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
12 |
|
eqid |
⊢ ∪ 𝐾 = ∪ 𝐾 |
13 |
2 12
|
cnpf |
⊢ ( 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) → 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ) |
14 |
13
|
3ad2ant3 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) → 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ) |
15 |
14
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ) |
16 |
|
flfssfcf |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ) → ( ( 𝐾 fLimf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ⊆ ( ( 𝐾 fClusf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ) |
17 |
10 11 15 16
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 fLimf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ⊆ ( ( 𝐾 fClusf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ) |
18 |
12
|
topopn |
⊢ ( 𝐾 ∈ Top → ∪ 𝐾 ∈ 𝐾 ) |
19 |
8 18
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ∪ 𝐾 ∈ 𝐾 ) |
20 |
4
|
adantr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
21 |
|
filfbas |
⊢ ( 𝐿 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) → 𝐿 ∈ ( fBas ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
22 |
20 21
|
syl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐿 ∈ ( fBas ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
23 |
|
fmfil |
⊢ ( ( ∪ 𝐾 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ( fBas ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ) → ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐾 ) ) |
24 |
19 22 15 23
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐾 ) ) |
25 |
|
filfbas |
⊢ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) → 𝑓 ∈ ( fBas ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
26 |
25
|
ad2antrl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝑓 ∈ ( fBas ‘ ∪ 𝐽 ) ) |
27 |
|
simprrl |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐿 ⊆ 𝑓 ) |
28 |
|
fmss |
⊢ ( ( ( ∪ 𝐾 ∈ 𝐾 ∧ 𝐿 ∈ ( fBas ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ 𝑓 ∈ ( fBas ‘ ∪ 𝐽 ) ) ∧ ( 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ∧ 𝐿 ⊆ 𝑓 ) ) → ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑓 ) ) |
29 |
19 22 26 15 27 28
|
syl32anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑓 ) ) |
30 |
|
fclsss2 |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐾 ) ∧ ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐾 ) ∧ ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ⊆ ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑓 ) ) → ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) ) |
31 |
10 24 29 30
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑓 ) ) ⊆ ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) ) |
32 |
|
fcfval |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ) → ( ( 𝐾 fClusf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) = ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑓 ) ) ) |
33 |
10 11 15 32
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 fClusf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) = ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝑓 ) ) ) |
34 |
|
fcfval |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ ( TopOn ‘ ∪ 𝐾 ) ∧ 𝐿 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ 𝐹 : ∪ 𝐽 ⟶ ∪ 𝐾 ) → ( ( 𝐾 fClusf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) = ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) ) |
35 |
10 20 15 34
|
syl3anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 fClusf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) = ( 𝐾 fClus ( ( ∪ 𝐾 FilMap 𝐹 ) ‘ 𝐿 ) ) ) |
36 |
31 33 35
|
3sstr4d |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 fClusf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ⊆ ( ( 𝐾 fClusf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) ) |
37 |
17 36
|
sstrd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( ( 𝐾 fLimf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ⊆ ( ( 𝐾 fClusf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) ) |
38 |
|
simprrr |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) |
39 |
|
simpl3 |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) |
40 |
|
cnpflfi |
⊢ ( ( 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ( ( 𝐾 fLimf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ) |
41 |
38 39 40
|
syl2anc |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ( ( 𝐾 fLimf 𝑓 ) ‘ 𝐹 ) ) |
42 |
37 41
|
sseldd |
⊢ ( ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) ∧ ( 𝑓 ∈ ( Fil ‘ ∪ 𝐽 ) ∧ ( 𝐿 ⊆ 𝑓 ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fLim 𝑓 ) ) ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ( ( 𝐾 fClusf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) ) |
43 |
7 42
|
rexlimddv |
⊢ ( ( 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ ( 𝐽 fClus 𝐿 ) ∧ 𝐹 ∈ ( ( 𝐽 CnP 𝐾 ) ‘ 𝐴 ) ) → ( 𝐹 ‘ 𝐴 ) ∈ ( ( 𝐾 fClusf 𝐿 ) ‘ 𝐹 ) ) |