Theorem dig2nn0

Description: A digit of a nonnegative integer N in a binary system is either 0 or 1. (Contributed by AV, 24-May-2020)

	Ref	Expression
Assertion	dig2nn0	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ( digit ‘ 2 ) 𝑁 ) ∈ { 0 , 1 } )

Proof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn	⊢ 2 ∈ ℕ
2	1	a1i	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 2 ∈ ℕ )
3		simpr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝐾 ∈ ℤ )
4		nn0rp0	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
5	4	adantr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ( 0 [,) +∞ ) )
6		digval	⊢ ( ( 2 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ( 0 [,) +∞ ) ) → ( 𝐾 ( digit ‘ 2 ) 𝑁 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 2 ↑ - 𝐾 ) · 𝑁 ) ) mod 2 ) )
7	2 3 5 6	syl3anc	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ( digit ‘ 2 ) 𝑁 ) = ( ( ⌊ ‘ ( ( 2 ↑ - 𝐾 ) · 𝑁 ) ) mod 2 ) )
8		2re	⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 2 ∈ ℝ )
10		2ne0	⊢ 2 ≠ 0
11	10	a1i	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 2 ≠ 0 )
12		znegcl	⊢ ( 𝐾 ∈ ℤ → - 𝐾 ∈ ℤ )
13	12	adantl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → - 𝐾 ∈ ℤ )
14	9 11 13	reexpclzd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 2 ↑ - 𝐾 ) ∈ ℝ )
15		nn0re	⊢ ( 𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ )
16	15	adantr	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → 𝑁 ∈ ℝ )
17	14 16	remulcld	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( 2 ↑ - 𝐾 ) · 𝑁 ) ∈ ℝ )
18	17	flcld	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ⌊ ‘ ( ( 2 ↑ - 𝐾 ) · 𝑁 ) ) ∈ ℤ )
19		elmod2	⊢ ( ( ⌊ ‘ ( ( 2 ↑ - 𝐾 ) · 𝑁 ) ) ∈ ℤ → ( ( ⌊ ‘ ( ( 2 ↑ - 𝐾 ) · 𝑁 ) ) mod 2 ) ∈ { 0 , 1 } )
20	18 19	syl	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( ( ⌊ ‘ ( ( 2 ↑ - 𝐾 ) · 𝑁 ) ) mod 2 ) ∈ { 0 , 1 } )
21	7 20	eqeltrd	⊢ ( ( 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ ) → ( 𝐾 ( digit ‘ 2 ) 𝑁 ) ∈ { 0 , 1 } )