Step |
Hyp |
Ref |
Expression |
1 |
|
dvdschrmulg.1 |
⊢ 𝐶 = ( chr ‘ 𝑅 ) |
2 |
|
dvdschrmulg.2 |
⊢ 𝐵 = ( Base ‘ 𝑅 ) |
3 |
|
dvdschrmulg.3 |
⊢ · = ( .g ‘ 𝑅 ) |
4 |
|
dvdschrmulg.4 |
⊢ 0 = ( 0g ‘ 𝑅 ) |
5 |
|
simp1 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Ring ) |
6 |
|
dvdszrcl |
⊢ ( 𝐶 ∥ 𝑁 → ( 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ) ) |
7 |
6
|
simprd |
⊢ ( 𝐶 ∥ 𝑁 → 𝑁 ∈ ℤ ) |
8 |
7
|
3ad2ant2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → 𝑁 ∈ ℤ ) |
9 |
|
eqid |
⊢ ( 1r ‘ 𝑅 ) = ( 1r ‘ 𝑅 ) |
10 |
2 9
|
ringidcl |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ) |
11 |
5 10
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ) |
12 |
|
simp3 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → 𝐴 ∈ 𝐵 ) |
13 |
|
eqid |
⊢ ( .r ‘ 𝑅 ) = ( .r ‘ 𝑅 ) |
14 |
2 3 13
|
mulgass2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ ( 𝑁 ∈ ℤ ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) ) → ( ( 𝑁 · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = ( 𝑁 · ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) ) ) |
15 |
5 8 11 12 14
|
syl13anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = ( 𝑁 · ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) ) ) |
16 |
|
ringgrp |
⊢ ( 𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp ) |
17 |
5 16
|
syl |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → 𝑅 ∈ Grp ) |
18 |
|
eqid |
⊢ ( od ‘ 𝑅 ) = ( od ‘ 𝑅 ) |
19 |
18 9 1
|
chrval |
⊢ ( ( od ‘ 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = 𝐶 |
20 |
|
simp2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → 𝐶 ∥ 𝑁 ) |
21 |
19 20
|
eqbrtrid |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( ( od ‘ 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ∥ 𝑁 ) |
22 |
2 18 3 4
|
oddvdsi |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Grp ∧ ( 1r ‘ 𝑅 ) ∈ 𝐵 ∧ ( ( od ‘ 𝑅 ) ‘ ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ∥ 𝑁 ) → ( 𝑁 · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = 0 ) |
23 |
17 11 21 22
|
syl3anc |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) = 0 ) |
24 |
23
|
oveq1d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = ( 0 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) ) |
25 |
2 13 4
|
ringlz |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( 0 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = 0 ) |
26 |
25
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( 0 ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = 0 ) |
27 |
24 26
|
eqtrd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( ( 𝑁 · ( 1r ‘ 𝑅 ) ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = 0 ) |
28 |
2 13 9
|
ringlidm |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = 𝐴 ) |
29 |
28
|
3adant2 |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) = 𝐴 ) |
30 |
29
|
oveq2d |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 · ( ( 1r ‘ 𝑅 ) ( .r ‘ 𝑅 ) 𝐴 ) ) = ( 𝑁 · 𝐴 ) ) |
31 |
15 27 30
|
3eqtr3rd |
⊢ ( ( 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∥ 𝑁 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵 ) → ( 𝑁 · 𝐴 ) = 0 ) |