Metamath Proof Explorer

Theorem mulgass2

Description: An associative property between group multiple and ring multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015)

Ref Expression
Hypotheses mulgass2.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
mulgass2.m โŠข ยท = ( .g โ€˜ ๐‘… )
mulgass2.t โŠข ร— = ( .r โ€˜ ๐‘… )
Assertion mulgass2 ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )

Proof

Step Hyp Ref Expression
1 mulgass2.b โŠข ๐ต = ( Base โ€˜ ๐‘… )
2 mulgass2.m โŠข ยท = ( .g โ€˜ ๐‘… )
3 mulgass2.t โŠข ร— = ( .r โ€˜ ๐‘… )
4 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = 0 โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( 0 ยท ๐‘‹ ) )
5 4 oveq1d โŠข ( ๐‘ฅ = 0 โ†’ ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( 0 ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) )
6 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = 0 โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( 0 ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
7 5 6 eqeq12d โŠข ( ๐‘ฅ = 0 โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†” ( ( 0 ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( 0 ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
8 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) )
9 8 oveq1d โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) )
10 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
11 9 10 eqeq12d โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†” ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
12 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘ฆ + 1 ) โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) )
13 12 oveq1d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘ฆ + 1 ) โ†’ ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) )
14 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘ฆ + 1 ) โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
15 13 14 eqeq12d โŠข ( ๐‘ฅ = ( ๐‘ฆ + 1 ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
16 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = - ๐‘ฆ โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) )
17 16 oveq1d โŠข ( ๐‘ฅ = - ๐‘ฆ โ†’ ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) )
18 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = - ๐‘ฆ โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( - ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
19 17 18 eqeq12d โŠข ( ๐‘ฅ = - ๐‘ฆ โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†” ( ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( - ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
20 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) = ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) )
21 20 oveq1d โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) )
22 oveq1 โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ๐‘ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
23 21 22 eqeq12d โŠข ( ๐‘ฅ = ๐‘ โ†’ ( ( ( ๐‘ฅ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฅ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†” ( ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
24 eqid โŠข ( 0g โ€˜ ๐‘… ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… )
25 1 3 24 ringlz โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ร— ๐‘Œ ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
26 25 3adant3 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ร— ๐‘Œ ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
27 simp3 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต )
28 1 24 2 mulg0 โŠข ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹ ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
29 27 28 syl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( 0 ยท ๐‘‹ ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
30 29 oveq1d โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 0 ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( 0g โ€˜ ๐‘… ) ร— ๐‘Œ ) )
31 1 3 ringcl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต )
32 31 3com23 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต )
33 1 24 2 mulg0 โŠข ( ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต โ†’ ( 0 ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
34 32 33 syl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( 0 ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( 0g โ€˜ ๐‘… ) )
35 26 30 34 3eqtr4d โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( 0 ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( 0 ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
36 oveq1 โŠข ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
37 simpl1 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring )
38 ringgrp โŠข ( ๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp )
39 37 38 syl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp )
40 nn0z โŠข ( ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค )
41 40 adantl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค )
42 27 adantr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต )
43 eqid โŠข ( +g โ€˜ ๐‘… ) = ( +g โ€˜ ๐‘… )
44 1 2 43 mulgp1 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) = ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘‹ ) )
45 39 41 42 44 syl3anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) = ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘‹ ) )
46 45 oveq1d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) )
47 38 3ad2ant1 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp )
48 47 adantr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp )
49 1 2 mulgcl โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ ๐ต )
50 48 41 42 49 syl3anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ ๐ต )
51 simpl2 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต )
52 1 43 3 ringdir โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
53 37 50 42 51 52 syl13anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
54 46 53 eqtrd โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
55 32 adantr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต )
56 1 2 43 mulgp1 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
57 39 41 55 56 syl3anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )
58 54 57 eqeq12d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ( ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†” ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ( +g โ€˜ ๐‘… ) ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
59 36 58 imbitrrid โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
60 59 ex โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0 โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ๐‘ฆ + 1 ) ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) ) )
61 fveq2 โŠข ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†’ ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
62 47 adantr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Grp )
63 nnz โŠข ( ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค )
64 63 adantl โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค )
65 27 adantr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต )
66 eqid โŠข ( invg โ€˜ ๐‘… ) = ( invg โ€˜ ๐‘… )
67 1 2 66 mulgneg โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ) )
68 62 64 65 67 syl3anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ) )
69 68 oveq1d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ) ร— ๐‘Œ ) )
70 simpl1 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring )
71 62 64 65 49 syl3anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) โˆˆ ๐ต )
72 simpl2 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ต )
73 1 3 66 70 71 72 ringmneg1 โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ) )
74 69 73 eqtrd โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ) )
75 32 adantr โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต )
76 1 2 66 mulgneg โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Grp โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( - ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
77 62 64 75 76 syl3anc โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( - ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
78 74 77 eqeq12d โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( - ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†” ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) ) = ( ( invg โ€˜ ๐‘… ) โ€˜ ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) ) )
79 61 78 imbitrrid โŠข ( ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„• ) โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†’ ( ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( - ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
80 79 ex โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ( ( ( ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) โ†’ ( ( - ๐‘ฆ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( - ๐‘ฆ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) ) )
81 7 11 15 19 23 35 60 80 zindd โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต ) โ†’ ( ๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ( ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) )
82 81 3exp โŠข ( ๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ( ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) ) ) )
83 82 com24 โŠข ( ๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ( ๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ( ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ๐‘Œ โˆˆ ๐ต โ†’ ( ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) ) ) ) )
84 83 3imp2 โŠข ( ( ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ( ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต ) ) โ†’ ( ( ๐‘ ยท ๐‘‹ ) ร— ๐‘Œ ) = ( ๐‘ ยท ( ๐‘‹ ร— ๐‘Œ ) ) )